Өмірдегі сан мыңдаған оқиғаларға математикалық тұрғыда қортынды жасауға арналған негізгі тәсілдердің біреуі мүмкіндіктерді санау немесе комбинаторика болып табылады. Жиынның элементтерінің санын, оларды реттеу санын табу, барлық мүмкін болмыстардың санын табу қажеттігі өмірде көптеп кездеседі. Осы мәселені оңтайлы шешуге бізге мүмкіндік санау тәсілдері немесе комбинаторика көмектеседі. Математикалық оқиғаларды көбінесе жиындармен жиындарға қолданылатын амалдар арқылы белгілеп, мүмкіндіктер санын «қосу» және «көбейту» ережесін қолданып есептеу комбинаториканың негізі болады да комбинаторикалық мазмұнды есептерді шешу ісі көбінесе оны қандай бір жиынның элементтерінің санын, бұл элементтерді белгілі ретпен орналастыру мүмкіндігін немесе оның ішкі жиындарын санау арқылы шығарылатын болады.

Төменде комбинаторикалық бағыттағы әртүрлі есептерге мысалдар келтірілген. Бұл есептерді өз бетіңмен шығар.

1. а) Суретте неше кесінді кескінделген?

   б) Суретте кескінделген үшбұрыштар санын тап.

2.2 тиынды тастағанда әр түрлі неше тәсілмен түсуге болады?

3.0; 1; 2; 3; 4; цифрлары арқылы қанша үш таңбалы сан жазуға болады? Бұлардың нешеуі 5 -ке бөлінеді? а) Цифр қайталанбайды. б) Цифр қайталанады.

4.5х5 шахмет тақтасының сол жақ астыңғы көзіндегі бала жоғары немесе оң бағытқа бір аттап көшу арқылы оң жақ жоғарғы көзге неше әр түрлі маршрутпен жетуге болады?

5.Әр кесіндіде 4 нүкте болатындай етіп 10 нүкте және 5 кесіндіні орналастыр.

6.Дүние жүзіндегі барлық адамдардың ішінен таныстарының саны тақ адамдардың жұп болатынын дәлелде.

     Енді комбинаторикалық есептерді шешудің негізгі тәсілдеріне тоқталсақ:

1. Қосу ережесі

Дербес жағдайдағы мүмкіндіктер санын есептеп, немесе ішкі жиынның элементтері мен оларды орналастыру сандарын есептеп өзара қосу және тізбе түрінде жазып өсу заңдылығын табу тәсілдері қолданылады. Бұл тәсілге жиындарға қолданылатын амалды пайдалансақ жиындардың бірігуінің элементерінің санын табуға арналған  формуласын пайдаланамыз. Ал тізбекті пайдалансақ өзгеру заңдылығын, рекуренттік қатынасты байқау деген сияқты тәсілдер таңдауға тура келеді.

Мысал-1: 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандардың ішінде 2 мен 3-тің кемінде біреуіне бөлінетін сан нешеу?

Шешуі:     деп алсақ, 2 мен 3-тің кемінде біреуіне бөлінетін сандардың саны = 50 + 33 - 16 - ге тең болады. Мұндағы  -2  мен 3-ке қатар бөлінетін сандар.

Мысал-2: 10 тор көзді жолақтың сол жақ шеткі көзіндегі тас оңға қарай 1 не 2 аттап көшу арқылы оң жақ шеткі көзге неше әр түрлі маршрутпен жетуге болады?

Шешуі: 2-ші көзге 1, 3-ші көзге 2 тәсілмен келе алады да 3- көзден бастап әр көзге оның алдындағы 2 көзден 1 не 2 аттап түсе алады. k-інші көзге келетін маршрут саны ,   рекурент формуласы бойынша есептеледі. Олай болса: ,

Жауабы: 89- әр түрлі маршрут

Мысал -3: Сыныптағы 25 оқушының 15-і математика 9-ы физика пәнінен факультетив сабаққа қатысады да 6-ы бұл екеуінің қай-қайсысына қатыспайды. Екі факультетивке қатар қатысатын және тек математикаға қатысатын оқушылар қанша?

Шешуі: А- математикаға, В- физикаға қатысатын оқушылар жиыны болса =25 – 6 =19 болғандықтан екі фалультетивке қатар қатысатындар саны = 15 + 9 – 19=5 болады  да тек математикаға ғана қатысатындар 15 - 5=10 оқушы.

Мысал-4: Алдындағы келтірілген 1 б) мысалдағы үшбұрыштар санын табайық.

Шешуі: Үшбұрыштың табанының сол жақ төбесі астыңғы табан бойындағы түйін нүктелерінде болатын үшбұрыштар санын оң жағынан бастап санап қоссақ, сәйкес 1, 2, 3, 4, 5, 6 болады да қосындысы 21-ді 2 еселеп алсақ суреттегі барлық үшбұрыштардың санын береді.

                                             Жауабы: 42 үшбұрыш.

Мысал-5:

нүктелер тізбегінің санын квадрат сандар, ал төменгі

тізбектерді сәйкесінше үшбұрыш сандар және бестік сандар деп алайық.

а) 7- ші квадрат, үшбұрыш, бестік сандарды тап.

б) Квадрат, үшбұрыш, бестік сандарының заңдылығын тауып әр қайсысының 10- шы, 50- ші сандарын тап.

Шешуі:  Квадрат сандардың заңдылығы айқын. Үштік сандар 2-сінен бастап алдыңғысына сәйкес 2, 3, 4, деген сияқты тізбектелген бүтін сандармен қосылып отыратындықтан 7-шісі 1+2+3+4+5+6+7=28 n-інші сан    1+2+ . . . + n =   болады. Бестік сандар саны                         1,   1+(1+3) = 2 + 3∙1,   5+(1+3+3) = 3+ (1+2)∙3 . .  .

яғни    болады.

Мысал-6:   А нүктесініен  F-ке баратын әр түрлі неше маршрут бар?

Шешуі:  В нүктесіне АВ және АDB  2 маршрутпен келуге болатындықтан  B нүктесінің дәрежесі 2-ге, сол сияқты D-2,   C-1,  E-2 дәрежелі болады да F-ке маратын маршрут саны қосу ережесі бойынша  2+1+2=6 –ға тең болады.

                            2. Көбейту ережесі

Оқиға немесе жиынның әр элементінің мүмкігдігін есептеп барлық мүмкіндікті табу тәсілі көбейту ережесі арқылы жүзеге асырылады. Көбейту ережесін жиын арқылы анықтасақ n- элементтен тұратын А, m элементтен тұратын В жиындарының әр қайсысынан бір бір элемент алып құрастыруға болатын (а;в) парлар саны  -ге тең. Осындай барлық мүмкін парлар жиынын А, В жиындарының Декараттық көбейтіндісі деп атап  деп белгілейді.

Жоғарыдағы қортындыны қысқаша:

          ,  болса  деп жазамыз. Сол сияқты  болатын k жиынның әр қайсы-сынан бір бір элемент алып құрастыруға болатын барлық k парлар саны - ға тең болады.

Мысал-1:   21 оқушысы бар сыныптың оқушыларын неше әр түрлі тәсілмен сапқа тұрғызуға болады?

Шешуі:  1- ші орынға 21- оқушының кез келгенін , 2- ші орынға 1- ші орынға тұрған оқушыдан басқа 20 оқушының кез келгенін, деген сияқты 21-інші орынға қалған 1 оқушыны таңдау арқылы 21- элементтен тұратын парлар таңдау керек болатындықтан сапқа тұрудың барлық мүмкіндігі  .болады.

Мысал-2:

жиынтығынан солдан оңға қарай бағытпен  «АСТАНА»  сөзін әр түрлі неше тәсілмен оқуға болады?

Шешуі: С- әріптерінің әр қайсысына сол жақтағы А- дан баруға болатындықтан әр қайсысына 1, Т әрпінің әр қайсысына екі С- ның қайсысынан да баруға болатындықтан әр қайсысына 2 деген сияқты  келуге болатын мүмкіндіктер бар болғандықтан барлық мүмкіндіктер саны      Жауабы: Әртүрлі 36 тәсілмен оқылады.

         Мысал-3:   6 лампа арқылы бөлмеге неше тәсілмен жарық беруге болады? (әр лампада жеке ажыратқыш бар,)

Шешуі:  6 лапаның әр қайсысында бөлмеге жарық беруге қатысудың «жану», «сөну» деген 2 мүмкіндігі болатындықтан есептің жауабы .

       Мысал-4:   0, 1, 2, 3  цифрларын пайдаланып неше  5 таңбалы сан жазуға болады?

Шешуі:  5 таңбалы санның алдыңғы цифры 0-ден басқа 3 мән, басқа разриядтағы цифрлар берілген 4 цифрдың төртеуін де қабылдай алатындықтан бес таңбалы сан .

Мысал-5:  Барлық үш таңбалы жұп сан нешеу?

 Шешуі:  Бұл есептегі оқиға «үщ таңбалы жұп сан жазу», оқиға элементтері -үш таңбалы санның цифрлары, жүздік орындағы цифрдың мүмкін мәндері 0-ден басқа 9 цифр, 10-дық орындыкі барлық 10 цифр, ал бірлік орындағы цифр жұп болатындықтан оның мүмкін мәндерінің саны 5 болатыны түсінікті. Сондықтан есептің жауабы .

Мысал-6:  10 оқушыдан 3 оқушыдан тұратын кезекшілер тобын неше әр түрлі тәсілмен таңдап алуға болады.

 Шешуі:  Оқиға үш элементі жиын таңдау. Бірінші кезекшіні 10, екіншісін 9 оқушыдан, үшіншіні 8 оқушыдан таңдаймыз. Көбейту ережесі бойынша барлық мүмкіндік саны . Бірақ бұл санға А, В, С үш оқушыдан тұратын кезекшілер тобы, таңдалу ретіне байланысты рет есептеліп тұрғанын ескерсек есептің жауабы 720:6 = 120.

Мысал-7:   4 түрлі гүлден 6 дана гүлден тұратын гүл шоғын неше әр түрлі тәсілмен жасай аламыз.

 Шешуі:  ●| ● ●| ● ● |● және   |● ● ●| ●| ● ●   схемаларына назар аударайық. Мұндағы  ●- гүлді,  |- гүлдердің түрін ажыатуға қолданылған белгі болмақ. Мәселен алғашқы схема І түрден 1, ІІ түрден 2, ІІІ түрден 2, ІҮ түрден 1 гүл кіретін (1+2+2+1=6)  гүл шоғын кескіндесе, екінші схемада І түрлі гүл алынбаған, ІІ-ден 3, ІІІ-ден 1, ІҮ-ден 2 гүл кіретін (0+3+1+2 = 6) гүл шоғын айқындай алады. Бұдан, ееп  6+3=9 орынға 3 таяқшаны орналастыру мүмкіндіктерінің санын табуға келіп тірелді. Бұл сан    болады.

Жаттығу есептер

Жаттығу есептерінің кей біреулеріне есептің жауаптары оның шығарылу жолын іздеп табуға нұсқау ретінде өрнектер арқылы берілгенін ескеру қажет.

1. Кубикті екі рет иіргенде түскен цифрларды ретімен жазғанда:

а) Әртүрлі мүмкіндіктер саны нешеу?

б) Түскен 2 цифрдің көбейтіндісі 10-ға бөлінетін мүмкіндік нешеу?

в) І- бағанға екі цифрдің қосындысының мүмкін мәндерін, ІІ- бағанға әр мәнді беретін мүмкіндіктер санын көрсеткен кесте құр.

2.8х8 шахмат тақтасында бір ақ, бір қара көзден тұратын пар көзді: а) неше әр түрлі тәсілмен белгілеуге болады?       б) Бұл екі көз бір баған немесе жол бойында болатын,         в) Бір баған немесе жол бойында болмайтын мүмкіндіктер саны қанша?

Нұсқау: б) Ақ көзді таңдау мүмкіндігі 32. Таңдаған ақ көзбен бір баған немесе бір жол бойында болатын қара көз 4+4 = 8. Барлық мүмкіндік саны  32∙8 = 256

3. 48 санын  а) екі натурал санның, б) үш натурал санның көбейтіндісіне әр түрлі неше тәсілмен қоюға болады.? (көбейткіштердің орыны ескерілмейді.)
4. Екі 0, үш 1 цифрын пайдаланып неше әр түрлі бес таңбалы рет номерін жазуға болады? (0-мен басталған санды есептеу керек. )
5. Екі 0, екі 1, екі 2 цифры арқылы неше әр түрлі код номерін жаза аламыз.
6. 1000- нан кіші .натурал сандардың ішінде

а) 2 және 3 -ке бөлінетін

б) 2- ге де 3-ке де бөлінбейтін сан нешеу?

7.5 әр түрлі реңді ленталардан 3 көлденең жолақтан құралған жалауды неше әр түрлі тәсілмен жасауға болады?

Нұсқау: Әр түрлі үш реңнен жасалатын, және шеткі екеуі бірдей , ортаңғысы өзгеше болатын екі жағдайды қарастыр.

8.350 бетті кітапты нөмірлегенде барлығы неше цифр жазылады?

9.Кітаптың беттерін нөмірлеуге 1308 цифр пайдаланылған болса кітап неше бетті?

10.1, 2, 3, 4, цифрларының орнын алмастыру арқылы жазылатын 4 таңбалы сандардың санын және қосындысын есепте.

11.10-шы есепті а) 1, 2, 2, 5 б) 1,3, 3, 3 в) 1, 1, 4, 4, цифрлары үшін шеш.

12.   k- таңбалы санды m- таңбалы санмен көбейткенде неше таңбалы сан шығуы мүмкін? k=3, m = 4 кезінде есепті шешіп, оған негіздеп жалпы қортынды жаса.
13.  а)   санының б)  (мұндағы -лер (  жай сандар, , натурал сандар) санының әр түрлі неше бөлгіші болады?

14.  Тек 1, 2, 3, 4 цифрлары арқылы жазылатын миллионнан кіші натурал сан нешеу?

а) цифрлардың төртеуі де қамтылған болса,

б) Бәрі қамтылған болуы шарт емес.

15. 1-ден 100-ге дейінгі сандардан қосындысы 3-ке бөлінетін екі санды неше тәсілмен таңдап алуға болады? Нұсқау: 3-ке бөлгендегі қалдықтарының қосындысы 0 және 3-ке тең болатын пар сандар есептің шартын қанағаттандыратынына көз жеткіз.

                                      Жауабы: (33∙33 – 33 )÷2+33+33∙34

16.   200 теңгені 10 -дық, 20-лық, 50-лік тиындар арқылы неше әр түрлі тәсілмен майдалауға болады?

Жауабы: 29

17. 0001- ден 9999- ға дейінгі сандардың ішінде алғашқы екі цифрының қосындысы соңғы екі цифрының қосындысына тең болатын сан нешеу?

Нұсқау: Екі цифрдың қосындысы 1- ден 18- ге дейінгі мәндерді қабылдауға болады. Бұл қосынды 5-ке тең болатын жағдайды алып көрсек:

   деген 6 мүмкіндік бар. Бұлардың кез келген 2 пары есептің шартын қанағаттандыратындықтан барлық мүмкіндік 6х6=36 Цифрларының қосындысы 7-ге тең болатын 2 таңбалы сандар 07, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70 деген 8 сан, цифрының қосындысы 15 ке тең екі таңбалы сан 69, 78, 87,96 деген 4 сан, 18-ге тең 99 деген 1 ғана сан болатынын ескер.

Жауабы: 669

18.   Шахмат тақтасына 8 арбаны бірін бірі жемейтіндей әр түрлі неше тәсімен орналастыруға болады?
19.  а) Әр түрлі 8 кітапты сөреге неше тәсілмен орналастыруға болады.? б) Белгіленген 2 кітап қатар тұрмайтындай неше тәсілмен орналастыруға болады?       

  Жауабы: 6 !

20.    «Математика» сөзінің әріптерінің орнын ауыстыру арқылы неше әр түрлі сөз құрастыруға болады?

21.  5 түрлі гүлден 8 гүлден тұратын гүл шоғын неше әр түрлі тәсілмен жасауға болады?
22. Бірдей 2 кубикті қатар иіргенде неше әр түрлі мүмкіндікпен түсуге болады?

Нұсқау: Көбейту ережесі бойынша 6·6=36. Бірақта қатар тастағанда  деген екі жағдай біреу болып есептелінеді.                                        Жауабы: 21

23. Автобусқа m жүргінші мінген. Автобус жолда n аялдамаға тоқтайтын болса:

а)  адамдар түсудің әр түрлі неше мүмкіндігі болады?

б)  Тек әр аялдамаға түскен адамдардың саны ғана ескерілсе мүмкіндік саны нешеу болады?

І.   m=30, n=12 болғанда есепті шеш.

ІІ.  жалпы түрде қорытынды жаса.

Нұсқау:   І. б) 30 адамнан і- ші аялдамаға түсетін адам санын  десек, мүмкіндік саны     теңдеуінің теріс емес бүтін шешімдерінің санына тең болады. Бұл есепті «12 түрлі гүлден 30 дана гүлден тұратын гүл шоғын неше әр түрлі тәсілмен жасауға болады?» деген есепке келтіруге болатындықтан «Мысал-5»-ке керектенген тәсілді қолдануға болады.

ІІ. а) Кім қай аялдамаға түсетінін ескеріп барлық мүмкіндікті есептеу керек болатындықтан,   m  жүргіншінің әр қайсысында  n  аялдаманың қайсысына да түсуге бола-тын әр түрлі   n   мүмкіндік бар екенін ескеріп көбейту ережесін қолдан.

24.10 алма, 8 алмұрт, 6 өрікті, 4 балаға әр түрлі неше тәсілмен үлестіріп беруге болады?

               Нұсқау жауап:   

25.  48 санын 4 натурал санның көбейтіндісіне неше тәсілмен жазуға болады.

      Нұсқау жауап:   

26. Кітап сөресіндегі 12 кітаптан үшеуін қайсы екеуі де қатар тұрмаған етіп неше тәсілмен таңдауға болады?

                                      Жауабы:   120

27. Әр түрлі 6 жәшікке бірдей 4 ақ, бірдей 3 қара барлығы 7 допты неше тәсілмен салуға болады?                                       

                                                     Нұсқау жауап:   

28.  Бірдей 20 допты әр түрлі 5 жәшікке жәшік сайын кемінде 2 доп салынған етіп неше тәсілмен орналастыруға болады?

 Нұсқау: Есептің шартын қанағаттандыратын етіп әр жәшікке 2 доп салып қалған 10 допты 5 әр түрлі жәшікке неше тәсілмен орналастыруға болатынын тауып, мысал-5-те керектенілген тәсілді қолдану керек.

                                                             Жауабы:  

29. Кубтың 6 жағын 6 реңмен бояған. Кубты айналдырғанда қабаттасатын боялуды бірдей деп есептесе неше әр түрлі жағдаймен бояуға болады? Жауабы:   6!/24
30. n нүктенің дәл m нүктесі бір түзудің бойында, басқа қандай да үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын болса а) Осы нүктелерді бастырып неше түзу жүргізуге болады?                              

                                  Нұсқау жауап:     б) Осы нүктелерде төбелері болатын неше үшбұрыш сызуға болады?

31. Дөңес n бұрыштың диагоналдарының қиылысу нүктелері ең көп дегенде нешеу болады?                                             

                                                          Нұсқау жауап:    

32.  Бір түзудің бойында 8 нүкте, оған параллель келесі түзудің бойында 11 нүкте берілген. Осы нүктелерде төбелері болатын

а) Үшбұрыш нешеу?

б) Төртбұрыш нешеу?

в) Тармақтары берілген түзулерде жатпайтын өзін өзі қимайтын 16 төбесі болатын қисық сызық нешеу?

 Нұсқау жауап:    а)  ,  б) ,    в)

33.   а) 15 түзу,  б) 4 шеңбер жазықтықты ең көп дегенде неше бөлікке бөледі?

                                          Жауабы: а) 121, б) 14

34. О нүктесінен n сәуле жүргізілген. Осы сәулелер қабырғалары болатын неше бұрыш болады?
35. Дөңес 7 бұрыштың төбелерінде төбесі болатын, ал 7 бұрыштың қабырғалары қабырғасы болмайтын үшбұрыштардың санын тап.

                                     Нұсқау жауап:   

36. а) 6∙6 өлшемді шахмат тақтасының сол жақ төменгі бұрышындағы король оңға, не жоғары, немесе оң-жоғары бағытында диагонал бойымен көшу арқылы оң жақ жоғарғы бұрыштағы көзге неше тәсілмен бара алады?

б) 7∙7 өлшемді тақтада тақтаның центріндегі көзді басып өтпейтін жағдайда бұл есепті шеш.

 Нұсқау: Тақтаның оң және астыңғы шетіндегі әр көзге бір көзден, ал басқа барлық көзге үш көзден келе алатынына көз жеткізіп, заңдылықты тап.

37.  1∙8 шахмат тақтасының сол жақ шеткі көзіндегі арба оң жақ шеткі нүктеге а) әр түрлі неше маршрутпен жете алады?

б) Солдан санағанда 5-көзге түспейтін

в) 5-көзге қайткен күнде түсетін маршруттар нешеу ?

г) Арба 1 не 2 аттап көшетін жағдайда а) - в) есептерді шеш.

38.Цифр қайталанбай жазылған 5 таңбалы жұп сан нешеу?                                       

Нұсқау: Соңғы цифры 0 болатын және 0- ден өзгеше жұп цифрлар болатын жағдай ларды жеке жеке қарастыр.      

                                       Жауап:    9·8·7·6·1+8·8·7·6·4

39.  7 алма, 4 мандарин, 9 алмұрттан неше әр түрлі тәсілмен жеміс таңдауға болады?

                                      Нұсқау жауап:   (7+1)(4+1)(9+1) -1.

40.    0; 4; 6; 8 цифрлары кірмейтін 4-ке бөлінетін 5 таңбалы сан нешеу?                     Жауабы: 5·6³
41. Қатар 2 цифры әр түрлі 5 таңбалы сан нешеу?                                            

                                               Жауабы: 9⁵

42. Кубикті (шаршыны) үш рет иіргенде кемінде 1 рет «6» цифры түсетін мүмкіндіктер саны қанша?

                                               Жауабы: 6³-5³=91

43.  Қабырғалары а) 4; 5; 6; 7 б) 2;5;6;8 сандарына тең болатын әр түрлі неше үшбұрыш болады?

                                                 Жауабы: 20

44. 0, 1, 2, . . ., 9 цифрларының орыналастыруларының нешеуінде 0; 1 цифрлары қатар жазылып, 1; 2 цифрлары қатар келмеген жағдай нешеу.

                           Нұсқау жауап:   

45.  Қорап сайын кемінде бір доп болатындай етіп:

а) 10 бірдей допты 4 бірдей қорапқа неше тәсілмен салуға болады?

Нұсқау: Алдымен әр қорапта кемінде бір доп болады деген шартты қананғаттандыратын шара қолдану тура. Соңынан қалған 6 допты 4 қорапқа орналастыру санын доптар мен қораптар бірдей деген есеп шартын ескере отырып табу қажет. Бұл санды «6 санын 4 cанның қосындысына неше тәсілмен қойуға болады?» деген сұраққа жауап беру арқылы табуға болатынына көз жеткіз.

                                     Жауабы: 9 тәсіл

б) 10 әр түрлі допты 4 бірдей қорапқа салу мүмкігдігі нешеу?

Нұсқау: Алдыңғы есептегі әр қадам доптардың әр түрлі болуына байланысты қанша есе артатынын табу қажет. Мәселен: алдыңғы есепте 1 ғана мүмкігдікпен есептелген қораптарға бір бірден салынатын 4 допты таңдау саны 210 -ға тең болатын болады. Қалған 6 доп үшін алдыңғы есептегі 9 жағдайлардың әр қайсысын әр түрлі доптардан таңдау мүмкігдігін есептеп қосып, нәтижені 210-мен көбейтуге тура келеді.

в) 10 әр түрлі допты 4 әр түрлі қорапқа салу мүмкігдігі нешеу?

Нұсқау: Алдыңғы есептегі нәтижені пайдаланумен қатар 4 допты әр қорапқа бір бірден орналас-тырғаннан кейін қалған 6 доптың әр қайсысында 4 қораптың қайсысына да түсуге болатын 4 мүміндік болатынын ескеру қажет.

                             Нұсқау жауап:  

г) 10 бірдей допты 4 әр түрлі қорапқа салу мүмкіндіктері қанша?                                                Жауабы:   

46.  Әр түрлі 10 жәшікке бірдей 6 ақ, бірдей 6 қара 12 допты жәшік сайын кемінде 1 доп салынатындай етіп неше әр түрлі тәсілмен орналастыруға болады?
47.  теңдеуінің а) Натурал шешімдерінің б) Теріс емес бүтін шешімдерінің санын тап.                                         

                                      Жауабы: a) ,    б) 

48. Бірдей 15 допты әр түрлі 5 жәшікке 2-ден көп емес бос жәшік болатындай етіп әр түрлі неше тәсілмен салуға болады?

Нұсқау: Бос жәшіктің саны 0, 1, 2 болатан жағдайларды қарастырБір ұлттың 3 адамы қатар отырмайтындай 3 қазақ, 3 орыс, 3 неміс барлығы 9 адамды неше әр түрлі тәсілмен бір қатарға отырғызуға болады?      

                                       Жауап:  

49.  Бір ұлттың 3 адамы қатар отырмайтындай 3 қазақ, 3 орыс, 3 неміс барлығы 9 адамды неше әр түрлі тәсілмен бір қатарға отырғызуға болады?

                       Нұсқау жауап:   9!-3∙3!∙7!+3∙(3!) ∙5! - (3!)

50.   а) Алдыңғы есепті бір ұлттың екі адамы қатар отырмайтын жағдайда шеш. б) Дөңгелек үстелді айнала отыратын жағдайда бір ұлттың 2 адамы қатар отырмайтын мүмкіндіктер саны нешеу?

 а)  Нұсқау жауап:   9!-9∙2!∙8!+27∙(2!) ∙7!+3!∙7!∙3 - 27∙3!∙ ∙2! ∙6!+ 3!∙ ∙2! ∙6!+ 3∙(3!) ∙5!+ 27∙(3!) - 9∙2! ∙(3!) ∙4!+ (3!) .

51.  4 отбасынан әйел еркектер кездесіп кейбіреулері амандасты және бір үйдің ерлі зайыпты екеуі өзара амандаспайды. Кездескен адамдардың амандасу сандары әр түрлі болған болса кездесуде неше адам болуы мүмкін?      

Нұсқау: Келушілер саны 4-тен кем емес. Әр адамның амандасу саны 6- дан артық емес және амандаспаған бір ғана адам болуы мүмкін. Ал амандасулар санының қосындысы жұп сан деген қортындыларға көз жеткізіп, осыларды пайдаланып есепті шеш.

52. Қонақта k ерлі-зайыпты жұптар жиналған. Кездескен кезде кейбір қонаққа келушілер қол алысып амандасты. (Әрине ерлі-зайыпты екі адам бір бірімен амандаспайды.) Осыдан кейін Бөке отырған қауымнан қанша рет қол алып амандасқандары туралы сұрағанда барлық аталған сандар әр түрлі болып шықты. Бөкенің келіншегі қанша рет амандасқанын есептеңіз.               Егер:  а)  k=5,   б)  k кез келген натурал сан болса

     Нұсқау: Бөке өзінен басқа 2k - 1 адамнан сұрағандағы олардың амандасу сандарының жиыны    болатынын анықта. Амандасу сандары 0 және 2k-2, 1 және 2k-3, 2 және 2k-4 болатын парлар ерлі зайыптылар болуға тиісті екеніне көз жеткіз. Мәселен 2k-2 амандас-қан адам тек 0 санын атаған адаммен ғана амандаспа-ғанда 1 санын атаған адаммен амандасқандықтан 2k-3 рет амандасқан адам 0 және 1 рет амандасқан адаммен амандаспайды д.с к-мен k-2 амандасқан адамдар ерлі зайыптылар болып тек қана k-1 амандасқан адам жеке қалады.

53.(а+1)(в+1)(с+1)(d+1)(e+1)(f+1)(д+1) өрнегінің барлық жақшасын ашып көбейткенде а) Неше қосылғыш пайда болады? б) 3 әріптен тұратын қосылғыш нешеу?

54.Тек көрсетілген бағыт бойынша а) «математика» б) «елорда» в) «құрастырушы» сөздерін неше түрмен оқуға болады?

а)                   м                          б)  е  л  о  р  д  а                                       

                   а    а                              л  о  р  д  а

                 т   т    т                            о  р  д  а

              е    е    е    е                        р  д  а

            м   м   м   м   м                     д  а

         а   а    а    а    а    а                   а

        т   т   т    т   т    т    т

     и   и   и   и   и   и   и   и            

    к   к   к   к   к   к   к   к   к

 а   а    а   а   а   а    а   а  а   а

в)   қ  ұ  р  а  с  т  ы                 

                     ұ  р  а  с  т  ы  р

                     р  а  с  т  ы  р  у

                     а  с  т  р  ы  у ш

                     с  т  ы  р  у ш ы