Мәтін есептер және оны шешу туралы

Мәтін есептер өмірдегі әрқилы оқиғаларды математикалық тәуелділік түрінде тұжырымдайтындықтан оқушылардың игерген білімін өмірмен ұштастырып, қажеттілікке жаратуға дағдыланумен қатар,  логикалық ойлау қабілетін жетілдіруге зор ықпал ететіндіктен, олардың математикалық дарынын жетілдіріп, ой өрісін кеңейтуде маңызды орын иеленеді.

Мәтін есептерді мазмұнына қарай: іс әрекеттік тәуелділік есептері,  сандық тәуелділік есептері деп екі топқа бөлуге болады.

1. Іс әрекеттік тәуел
2. ділік есептеріне:

  Әр түрлі қозғалысқа байланысты есептер, жұмыс, өнім, кіріс, шығысқа байланысты экономикалық мағаналы есептер,  әр түрлі қоспалар жасау, құйу, таразылыу сияқты өлшеу есептерін жатқызуға болады.

2.  Сандық тәуелділік есептеріне:

Сандардың және оның цифрларының өзара   байланысына қатысты есептер,бүтін санның бөлінгіштігіне қатысты есептер, санның немесе заттың құрамы, пайызы, бөліктері, пропорцианалдық қатынастарына байланысты есептер жататын болады

     Мәтін есеп шешудің ең алғашқы және ең маңызды кезеңі  есептің  мәтінін, қойылымын түсіну  болып табылады. Біз бұл кезеңде   берілген шамалар не?, белгісіз шамалар немесе табатынымыз не?, бұлар өзара қандай шартпен байланысқан немесе қандай тәуелділік берілді?  деген маңызды сұрақтарға жауап іздеу арқылы есептің құрылымына толық талдау жасап, есептің мәтіні арқылы берілген тәуелділікті математикалық тәуелділікке келтіруіміз керек. Бұл кезеңнен табысты өте алсақ  шығарылу жолын таңдау, шешім жасау кезеңдері математикалық ортақ әдіс тәсілдер бойынша өрнек немесе теңдеу құрып шешу арқылы жүзеге асатын болады.

Сондықтан да мәтін есеп шешуге дағдылану үшін  есептің мағанасын жете түсініп, мазмұндық талдау жасау арқылы есеп қойылымын математикалық тәуелділік түріне келтірудің әдіс тәсілдерін жете игеруді мақсат ету қажет.

   Біз төменгі мысалдар арқылы мәтіндік талдау жасауды кестені пайдаланып жүзеге асыру жолдарын түсіндіруді мақсат еттік. Келтірілген тәсіл қандай да типтің есептеріне керектенуге қолайлы, мәтінге жан жақты талдау жасуға толық мүмкіндік бере алатын, есептегі тәуелділік қарапайым кесте элементтерінің арасындағы тәуелділік түріне келіп, есепті түсінуге, оны шешудің жолын таңдауға, есептің шешімін тексеруге жан жақты қолайлы жағдай туатын деген сияқты көптеген артықшылықтарымен ерекшеленетін болады. Бұл арада ең басты мәселе есептің мағынасымен мазмұнын толық аша алатындай етіп кестенің жолдарымен бағандарын тиімді түрде таңдап алу болмақ.

Мысал-1: Ағайынды үшеуі мектептен үйге қарай бірге шығады. Үлкен ағасы ортаншысынан 2 есе, кішісінен 3 есе баяу жүреді. Кішісі үйге бұрын жетіп анасының әзірлеп қойған тортынан жей бастады да ортаншысы келгенше торттың  1/7  бөлігін жеді. Ортаншысы келісімен екеуі бірігіп бірдей 1/7  өнімділікте тортты жеген болса, үлкен ағасы үйге жеткенде торт қала ма?

Шешімі: Бұл қозғалыс және еңбек өнімділігін қатар қамтыған мағыналы есепке жатады. Есеп шартын төмендегідей кестеге келтірейік. Бұл есеп «іс әрекет тәуелділігі» есебіне жатады және ісәрекетке қатысушылар саны үш, екі ісәрекеттің әр қайсысы үш элементке тәуелді болатынын ескеріп, 5 жол, 7 бағаннан тұратын төменгі кестені таңдаймыз.

1-тәсіл:

Торт жеу өнімі:   Бұдан өнім бірлік уақытта істелетін жұмыс болғандықтан

пропорция құрсақ:    Олай болса ағасы жеткенше  Ортаншысы:  бөлік.  Кішісі:  бөлік,  екеуі бірігіп  тортты жеп тауысады.

    2-тәсіл:  Барлық жолды 6 бөліктен тұрады, үлкен ағасының жылдамдығын 1 бірлік жылдамдық деп алсақ есепті шешуге тиімді жағдай туындайтынын пайдаланып, кестені түсініп, есепті шеш.  

Мысал-2:  Пішеншілер бригадасы біреуі біреуінен 2 есе үлкен екі алаңды шабуға шықты. Түстен бұрын олар үлкен алаңда жұмыс жасады. Түстен кейін олар тең екі бөлікке бөлініп, жартысы үлкен алаңың, жартысы кіші алаңның шөбін шаппақ болды. Кешке жұмыстан түскенде олар үлкен алаңды шауып бітіріп, кіші алаңнан бір жұмысшы бір күнде шабатындай алаң қалған болса бригада неше адамнан тұрады.

Шешімі: Адамдар санын х деп алып, еңбек өнімділігі адамдар санымен өлшенетінін ескеріп, кесте құрсақ:

Бір күнде бір адамның істейтін жұмысы , және үлкен алаңның жұмысы кіші алаңнан 2 есе артық екенін ескеріп теңдеу құрсақ:  бұдан  (адам)

Мысал-3: Екі велосипедші шеңбер тәріздес жолдың бір нүктесінен қарама-қарсы бағытта, бір уақытта шықты. Біріншісінің жылдамдығы тұрақты 100 м/мин, ал екіншісі алғашқы минутта 100 м жүргенімен жылдамдығы келесі әр минут сайын 10 м-мен азайып отырған. Кездескен кезде бірінші велосипедші барлық жолдың  2/3 бөлігін жүрген болса, олар неше минутта кездескен?  Шеңбер жолдың ұзындығы қандай?

Шешімі: Екінші велосипедшінің орташа жылдамдығы біріншіден 2 есе аз болуы шарт. Себебі ол екі есе аз жүрген. Түснікті болу үшін кездескенге дейінгі  жолға кесте құрсақ:

,   бұдан     болатынын  табамыз. Кездескенге дейінгі уақыт  t = 1+ x

 деп екіншінің орташа жылдамдығын есептесек:

  теңдеуін аламыз.  Бұл теңдеуді шешсек    x = 10,  сондай-ақ   t = 11 мин  болатынына көз жеткіземіз.  Олай болса  шеңбер жолдың ұзындығы   (100 + v)∙t = (100 + 50)∙11 = 1650 метр.

Мысал-4: (2009, ЖМО-Астана, 8-сынып)

Әр жерде тұратын екі дос бір күнде серуенге шықты. Біріншісі А-дан 10 сағат 36 минутта шығып В-ға 16 сағат 21 минутта жетті. Ал екіншісі В-дан 10 сағат 30 минутта шығып, А-ға 15 сағат 06 минутта жетті. Достардың кездескен уақытын анықтаңдар.

Нұсқау:   Төменгі кестені түсініп теңдеу құрып шеш:

Теңдеу:      

Мысал-5:   Баннаны ыстық судың шүмегі 23 минутта, суық судың шүмегі 17 минутта толтырады. Алдымен ыстық судың шүмегін ашып, соңынақ суық судың шүмегін қосқан. Банна толған кезде ыстық судың мөлшері суық судан 1,5 есе артық болу үшін неше минуттан кейін суық судың шүегі қосу керек?

Нұсқау:   Төменгі кестені түсініп, теңдеулер жүйесін  құрып  шешу  керек. Мұнда баннаның сиымдылығын 1бүтін деп алдық.            

   жүйесін шешіп, шешімге жетеміз.    

Мысал-6:  Театр билетінің бағасы 1200 теңге болатын. Билет бағасы арзандауына байланысты көрермендер саны 50% өсіп, кіріс мөлшері 25%-ға артқан болса билет бағасы қанша тенгеге арзандаған?

Нұсқау:     

Кіріс  тәуелділігінен теңдеу құрып, есепті шешу керек.

Мысал-7    Үш ыдысқа су құйылған. Бірінші ыдыс-тағы судың жартысын екінші ыдысқа құйғаннан кейін, екінші ыдыстағы судың 1/3 бөлігін үшіншіге, соңында үшіншідегі судың 1/4 бөлігін біріншіге құйғанда әр ыдыста 6 литр су болған. Алғашында әр ыдыста қанша су болған? 

  Нұсқау:   І тәсіл:  Кесте арқылы жүйе құру.

ІІ тәсіл:  Кесте құрып толтыру арқылы шешімге жету.   Мұнда; есеп шарты бойынша ең соңында үш ыдыста да 6 литр су болғандықтан ең соңғы бағанның ең астынғы көзінен бастап, қуалау арқылы кестенің көздерін толтыра отырып есептің шешіміне жету тактикасын қолданып отырмыз:

  Мысал-8:  Бір ыдыстағы ертінділердің құрамындағы иодпен судың мөлшері 3:7 қатынасындай. Ал екінші ыдыста 40%-дық иод ертіндісі бар. Иодпен судың мөлшері 5:11 қатынасындағы 16 литр жаңа ертінді дайындау үшін ертінділердің әр қайсысынан қанша литр қосу қажет?

Нұсқау:

   Жаңа ертіндідегі иодпен судың қатынасы 5:11 қатынасындай деген есеп шарты бойынша теңдеу құрып шешімін тап.