Паскаль  үшбұрышы

Мадиева  Айнұр    
Жаңаарқа, О.Жұмабеков О.М
жетекші Базарбаева А 

Екі санның натурал дәрежелерін қарастыралық.
Мысалы,      (a+b)º = 0•a+a•b
                     (a+b)¹=1•a+1•b
                     (a+b)²= 1•a²+2•ab+1•b²
                     (a+b)³= 1•a³+3a²b+3ab²+1•b³
                     (a+b) 4 = 1•a4 +4a³b+5a²b²+4ab³+1•b4
                                 (a+b)5 =1•a5 +5a4  b+10a³b²+10a²b3 +5ab4 +1•b5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
формулаларының  дұрыстығын Паскаль үшбұрыш арқылы байқауға болады. 
    Яғни ол коэффициенттер мынадай таблица құрады:
  
                                         І
                                   І    2     І
                              І   3           3   І
       І   4       6          4  І
                      І  5      10        10        5  І
         Бұл таблица Паскаль үшбұрышы деп аталады. Мұнда «бүйір қабырғалары» ылғи бірліктерден құралған, басқа сандар өзінің екі «иығындағы» сандарды қосудан (мысалы, 10=4+6,  6=3+3.....) шыққан. Әр жол (а+b)= нің белгілі бір дәрежесіне сәйкес. 
Таблицаны көрсетілген ереже бойынша одан әрі құрастыра беруге болады. 
         
          Алгебра курсынан қысқаша көбейту формулалары, оның ішінде екі мүшенің қосындысының квадраты мен кубы, яғни 
      (x+a)²=x²+2ax+a²,      (x+a)³=x³+ 3ax²+3a²x+a³ 
белгілі. 
        Егер осы екі мүшенің қосындысын кез келген натурал дәрежеге  шығару формуласы қажет болса, онда оны жоғарыдағы формулалардың көмегімен қорытып шығаруға болады.
        Мысалы, екі мүшенің қосындысының төртінші дәрежесін есептейтін формуланы қорытып шығару үшін екі мүшенің қосындысының кубының формуласы мен көпмүшені көпмүшеге көбейту ережесін қолданамыз. 
        Сонда, (x+a)4 =(x+a)³•(x+a)=(x³+3ax²+3a²x+a³)(x+a)=х4 +4ax³+6a²x²+4a³x+a4
        Екі мүшенің қосындысын n-дәрежеге шығару келесі формуламен анықталады:
Осы формула Ньютон биномының формуласы деп аталады.
 Бином сөзі француз тілінен аударғанда «алгебралық екі мүше» ұғымын білдіреді. 
Анықтама.  Ньютон биномының формуласындағы коэффициенттерді биномдық  коэффициент деп атаймыз.
(2) формуланы қысқаша келесі теңдеумен беруге болады:
 
1,2 формулаларының кез келген толық математикалық индукция әдісімен дәлелдеуге болады. 

Ньютон биномының қасиеттері: 
    1) қосылғыштар санының бином дәреже көрсеткішінен біреуі артық, яғни дәреже n болса, қосылғыштар саны (n+1);
      2) x-тің дәреже көрсеткіші n-нен нөлге дейін кемиді, а-ның дәреже көрсеткіші нөлден n-ге дейін өседі. Әрбір қосылғышта олардың дәреже көрсеткіштерінің қосындысы бином дәреже көрсеткішіне тең;
     3) қосылғыштарының коэффициенттері терулер санының Сk=Cn-k
                                                                                                         N    n
қасиетіне  байланысты анықталады, яғни жіктелудің басынан және соңынан санағанда бірдей қашықтықта тұрған қосылғыштардың коэффициенттері өзара тең болады; 
     4) биномның кез келген мүшесі
                     Tk+1= Ck • ak  • xn-1
                                                        N
формуласымен анықталады, мұнда k нөлден n-ге дейін өзгереді. 
     5)  егер бином дәреже көрсеткіші тақ натурал сан болса, онда жіктелу қосылғыштарының саны жұп болады. Ал бином дәреже көрсеткіші жұп сан болса, онда жіктелу қосылғыштарының саны тақ болады;
     6) коэффициенттері үлкен қосылғыштар биномның орта мүшелері  деп аталады. Бином дәреже көрсеткіші тақ сан болса, орта мүшелерінің саны екеу, жұп сан болған жағдайда орта мүшесі біреу болады. 
 Ньютон биномын қолдануға мысал қарастырайық. 
Жоғарыда жазылған барлық қасиеттерді анықтау үшін (x+a)5, (x+a)6  биномдарды қосылғыштарға жіктейік.

(x+a)6 = x6 +5a •x4 +5•4/1•2 a²x³+5•4•3/1•2•3 a³x²+5•4•3•2/1•2•3•4 a4x+xº5•4•3•2•1/1•2•3•4•5 a5•xº= x5+5ax4 +10a²x³+10a³x4 +5a4x+a5. 
 
Сонда (x+a)4 = x+5a•x4 +10a²x³+10a³x²+5a4 +a5. 
(x+a)6 = x6 +6ax5 +15a²x4 +20a³x3+15a4 •x² +6a5 x+a6. 
(Толықтыру жасалады).

                                  
                       
                                                         Әдебиеттер: 
         1. За страницам учебника Алгебры Л.Ф. Пичурин
         2. Задачи по элементарной математике Е.Б.Ваховский; А.А. Рывкин
         3. Н.Я. Виленкин;  Р.С.Гутер;  С.И.Шварцбурд;  Б.В. Овчинский