Эйлер функциясы

(1 сағат)

Жоспары:

         1. Негізгі теоремалары.

         2. Мысал.

Пайдаланылған әдебиеттер:

а) негізгі:

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва 1978

2. БеклемишевД.В. Курс аналитической геометрии линейной алгебры. Москва 1987

3. Цуберкиллер О.Н. Задачи и упражнение по аналитической геометрии. Москва  1970

б) қосымша:

4. А.И. Кострикина Сборник задач по алгебре  Москва 1996

5. Б.Л. Ван дер Варден, Алгебра Москва 1976

6. Л.А. Скорняков Элемент общей алгебры. Москва. 1978

Лекция мәтіні.

N натурал санымен өзара жай сан болатын, және n нен үлкен болмаған барлық оң бүтін сандарының санын   деп белгіленеді.

         Бүтін сандар жиынында анықталған бұл функцияны Эйлер функциясы деп атайды.

         Мысалы: (1) = 1,  (2) = 1  (6) = 2  (5) = 4,  (12) = 4.

         1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

         Анықтама: f сандық функция мультипликативті деп аталады, егер өзара жай сандар болатын а және в сандары үшін f(ab) = f(a)f(b) теңдігі орынды болса.

         Теорема: Эйлер функциясы мультипликативті болады.

Дәлелдеуі: Айталық а, в – оң бүтін және өзара жай сандар болсын.

         М – ав саннан кіші болған теріс емес бүтін сандар жиыны болсын. Онда қалдықпен бөлу теоремасы бойынша М нің кез-келген элементін bg+z көріністе жазуға болады, мұндағы  саны а санымен жалғыз (в,z) = 1 болғандығына өзара жай сан болады. Осындай z тердің (в) функциясы бар болады. Осындай z тердің z₁, деп алайық.

         Онда z_1,,  в + z₁,  в2 + z,  2в + z₁,...,в(а-1) + z₁  сандары а модуль бойынша қалындыларының толық жүйесін құрастырады. Сондықтан осы сандар арасында а мен өзара жәй сандар болатын сандар саны (а) ға тең болады. Сонымен в санымен өзара жәй болатын әрбір Z₁ санына сәйкес а санымен өзара жай сан болатын  вg+z₁ көрінісіндегі сандардың саны дә»л (а) ға тең болады екен. Ол сандар ав мен де өзара жәй болуы белгілі.

         Сондықтан ав санымен өзара жәй сан болатын М жиынындағы сандар саны дәл (а)(в) ға тең болады, яғни (ав) = (ав)(в) .

Теорема: Егер  натурал санның канондық жіктеуі болса, онда    болады.

Мысалы:  (30) =