Бүтін сандар сақинасындағы салыстырулар.

(1 сағат)

Жоспары:

         1. Эйлер және Ферма теоремалары:

2. Салыстырулар және олардың қасиеттері.

Пайдаланылған әдебиеттер:

а) негізгі:

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва 1978

2. БеклемишевД.В. Курс аналитической геометрии линейной алгебры. Москва 1987

3. Цуберкиллер О.Н. Задачи и упражнение по аналитической геометрии. Москва  1970

б) қосымша:

4. А.И. Кострикина Сборник задач по алгебре  Москва 1996

5. Б.Л. Ван дер Варден, Алгебра Москва 1976

6. Л.А. Скорняков Элемент общей алгебры. Москва. 1978

Лекция мәтіні.

1. Айталық z₁ – бүтін сандар сақинасы, m – фиксирланған бүтін сан және m z₁ –m ге ретті болған бүтін сандар жиыны болсын.

Анықтама: Егер m саны а – в санын бөлсе, онда а және в сандар m модуль бойынша салыстырсалы деп аталады, да

                                                           (1)

деп жазылады.

         m модуль бойынша салыстырмалық қатынасы рефлексивтік, симметриялық және транзитивтік қасиеттеріне ие, яғни эквиваленттік қатынас болады. Сонықтан салыстырмалық қатынас бүтін санда жиыны болған z₁  жиынды эквиваленттік қатынастарға бөліп тастайды. Біз оларды m модуль бойынша салыстырмалық қатынас пен (-m) модуль бойынша салыстырмалық қатынас бір екендігін көруге болады. О модуль бойынша салыстырмалық қатынас теңдік қатынасының өзі болады. Кез – келген екі бүтін сан 1 модул бойынша салыстырмалы болады.

         1) – қасиет: m модуль бойынша алынған екі қалындылар класы не тең болады, немесе қиылыспайды. m модуль бойынша алынған қалындылар кластарының барлығының бірікпелі z₁  жиыны тең болады.

         2) – қасиет: Айталық, А және В – m модуль бойынша қалындылардың екі кластары болып,  болсын. А және В сыбайлас кластары тек  болғанда ғана тең болады, яғни

         3)-қасиет. Егер А – m модуль бойынша қалындылар класы, болса,  болады, яғни

         Теорема. а және b сандары m модуль бойынша салыстырмалы болуы үшін (m) m –ге бөлгенде қалатын қалдықтары тең болуы қажетті және жеткілікті.

         Дәлелдеуі: а және b сандарын m – ге бөлгенде х және х₁ қалдықтар қалған болсын. а=gm+x, b=g₁m+x₁, (), (), деп алайық, онда a-b=(g-g₁)m+(x-x₁),  болады.

         Егер анықтама бойынша a-b m – ге бөлінеді, сондықтан x-x₁=0, x-x₁ болады. Егер х=х₁ болса х-х₁=0 болғандықтан a-b саны m – ге бөлінеді, яғни  

         2. Қарапайым қасиеттері.

         1-қасиет. Салыстырмаларды бөліктеп қосу, алу мүмкін, яғни  болса, онда а+с=b+d(modm) болады.

         2-қасиет. Салыстыруларды мүшелеп көбейтуге болады  

         Эйлер теоремасы. Егер бүтін а саны m санымен өзара жай санда болса, онда  орынды болады. Мұндағы  санымен өзара жай сан болатын, m – нен үлкен болмаған бүтін сандар саны.

         Ферма теоремасы. Егер бүтін а саны р жай санына бөлінбесе, онда  болады.

         Бұл теоема Эйлер теоремасының m=p болғандағы дербес жағдайы екендігін көруге болады. Оны басқа көріністе де айтуға болады.

         P-жай сан, а-бүтін сан болса,  болады.