|
Алғаш Неміс математигі Петр Густов Ажен Дирихле (1805-1854жыл) бұл принципті тұжырым-дағандықтан оны Дирихле принципі деп атау қалыптасқан. Бұл принцип қарапайым болғанымен терең логикалық мағынасы бар төменгі тұжырымдармен айқындалады:
- «n ұяшыққа n+1-ден кем емес қоян орналастырсақ екіден кем емес қоян орналасқан ұяшық табылады»
- (Кеңейтілген принцип) «nk+1 допты n қорапқа салғанда k+1-ден кем емес дoп салынған қорап табылады»
Жаттығу есептер:
- Магазинге алманың үш сортынан 25 қорап алма әкелінді кемінде бір сорттан 9-дан кес емес қорап алма болатынын дәлелде,
- «Зерде» мектебінде 220 оқушы бар. Аттары бірдей әріппен басталатын кемінде 6 оқушы табылатынын дәлелде.
Нұсқау: ь; ъ; й – ден басқа 39 әріпті 39 ұяшық, 220 оқушыны қоян деп ал.
- Қабырғасы 1 м квадраттың ішінде 51 нүкте берілген. Осы нүктелердің кемінде үшеуі жататын қабырғасы 20 см-ге тең квадрат табылатынын дәлелде.
- Кез келген 52 бүтін саннан квадраттарының айырмасы 100-ге бөлінетін екі сан табылатынын дәлелде.
Нұсқау: n және 100-n сандарының квадраттарының 100 ге бөлгенде бірдей қалдық беретіндіктен санның квадратын 100-ге бөлгенде 51 әр түрі қалдық шығуы мүмкін
- 3 х 3 кестесінің көздеріне -1; 0; 1 сандары жазылған. Жолдар, бағандар және екі диоганал бойындағы үштіктердің 8 қосындысынң кемінде екеуінің мәні тең болатынын дәлелде.
Нұсқау: -1; 0; 1 сандарынан жасалатын үштіктердің қосындысының мүмкін мәндерінің жиыны болтынына көз жеткіз.
- 100 адам дөңгелектеп жасалған столға жайғасқан. Олардың жартысынан астамы ерлер болса, бір-біріне қарама-қарсы отырған екі еркек адам табылатынын дәлелде.
Нұсқау: Қарама-қарсы отырған парлар саны 50-ді ұяшық деп алу керек.
- 1-ден 9-ға дейінгі сандарды үш бөлікке бөлген. Қай бір бөліктегі сандардың көбейтіндісі 72-ден кем емес болатынын дәлелде.
Екі бөліктегі сандардың көбейтіндісі 72-ден кем емес болуы мүмкін бе?
- 15 оқушыда 100 оқулық болса олардың кемінде екеуінің оқулықтарының саны тең болатынын дәлелде.
Нұсқау: Керісінше барлық оқушының оқулықтарының саны әр түрлі деп көріп, 0 + 1 + 2 +. . . + 14 = 105 болатынын пайдаланып қорытынды жаса.
- Кез келген үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын 6 нүктені қосатын барлық кесінділерді 2 түске қалай бояса да қабырғалары бірдей түске боялған үшбұрыш табылатынын дәлелде.
- 1-ден 100-ге дейінгі натурал сандар тізбектей жазылған. Алдымен олардың кез келген 25 саны өшіріледі. Қалған сандардан тағы да 25 санды, қалған 50 санның қосындысы өшірілген 50 санның қосындысына тең болатындай етіп өшіруге бола ма?
- Төрт тиынның әр қайсысы 100-ден кем емес шәкілдеуік, төртеуі бірігіп 2009 шәкілдеуік жеген. Бірінші тиын ең көп шәкілдеуік жеген де екінші мен үшінші тиындар бірігіп 1265 шәкілдеуік жеген болса тиындардың әр қайсысы неше шәкілдеуіктен жеген.
Нұсқау: Төртінші тиын ең кем дегенде 100 шәкілдеуік жейді 1265 = 632 + 633 болатындықтан бірінші тиын 634 тен кем емес шәкілдеуік жеуі қажет екенін ескеріп қорытынды жаса.
- Кез келген 10 натурал саннан айырмасы 9-ға бөлінетін екі сан табуға болатынын дәлелде
- Кез келген 31 натурал санның ішінен қандай да екеуінің айырмасы 10-ға бөлінетін 4 сан табылатынын дәлелде.
Нұсқау: 10-ға бөлгендегі қалдықтары тең 4 сан табылатынын дәлелдеп осы сандар есептің шартын қанағаттандыратынына көз жеткізу керек.
- Күреске 24 балуан қатысты. Әр балуан қарсыластарымен бір рет күреседі. Бәсекенің қай кезеңінде де күрескен сандары тең екі балуан табылатынын дәлелде.
Нұсқау: Қоян – балуандар, ұяшық - олардың күрескен саны. Егер 23 рет күрескен балуан болса онда күреспеген балуан жоқ та күреспеген балуан болса 23 күрескен балуан болмайтыны ұяшықтың санын 23-тен азайтуға мүмкіндік беретінін ескер.
- Кез келген 5 натурал саннан квадраттарының айырмасы 7-ге бөлінетіндей екі сан табылады деген қортынды жасауға бола ма?
Нұсқау: Натурал санның квадратын 7-ге бөлгенде 0; 1; 2; 4; қалдық қалатынын ескер.
- Кез келген жеті бүтін саннан қосындысы 3-ке бөлінетін үш сан табылатынын дәлелде.
Нұсқау: a ≡ 0; 1; 2(mod3) болатынын және 3-ке бөлгендегі қалдықтары тең үш санның қосындысы 3-ке бөлінетінін ескер.
- шартын қанағаттандыратын 8 натурал сан берілген. Барлық мүмкін айырмаларының кемінде үшеуі өзара тең болатынын дәлелде.
Нұсқау: Мәні 14-ке тең айырма бірден артық емес, ал есептің шартындағы айырмалардың саны нешеу болаты-нын анықта.
- Кез келген натурал сан үшін оған бөлінетін түріндегі сан табылатынын дәлелде.
Нұсқау: 1, 11, 111, ..., деген n+1 санды қоян ретінде, оларды n-ге бөлгенде шығатын қалдықтарды ұяшық ретінде алып қорытынды жаса.
- Қорапта 25 ақ, 25 қара, 20 көк, 10 қызыл доп бар. а) Қандай бір өңнен 10 доп, б) 10 ақ доп алған болу үшін қараңғыда қораптан неше доп алу қажет?
20. Сыныпта 30 оқушы бар. Диктант жазғанда Айдын 13 қате, қалғандары одан аз қате жіберген. Жіберген қателерінің саны бірдей үш оқушы табылатынын дәлелде.
21. Кез келген 65 натурал саннан қосындысы 9-ға бөліне-тін 9 сан табылатынын дәлелде.
Нұсқау: 9-ға бөлгенде бірдей қалдық беретін 9 сан және 9-ға бөлгенде әр түрлі қалдық беретін 9 санның қосындысының 9-ға бөлінетінін анықта.
22. Қабырғасы 5 см квадраттың ішінде 127 нүкте берілген. Бұлардан радиусы 1 см дөңгелектің ішінде жататын 8 нүкте табылатынын дәлелде.
Нұсқау: Берілген квадратты бірдей квадраттарға бөлу арқылы шешу жолын қарастыру
- Бір тұрғын үйде 123 адам өмір сүреді. Олардың жастарының қосындысы 3813. Бұлардан жастарының қосындысы 3100-ден кем емес 100 адам таңдап алуға бола ма?
- Жазықтықта қандай да екеуі параллель болмайтын 7 түзу берілген. Бұлардан арасындағы бұрышы 26°-тан кіші болатын екі түзу таңдап алуға болатынын дәлелде. 26°-ты 25°-пен алмастырса қорытынды ақиқат бола ала ма?
- 21 бала 200 шәкілдеуікті барлық баланың алған шәкілдеуігінің саны әр түрлі болатындай етіп бөліп ала ала ма? (0 шәкілдеуік алған бала болуға болады.)
- Ұзындықтары 10 см-ден артық, 1 м-ден кем 7 кесінді берілген. Бұлардан үшбұрыш құрастыруға болатын үш кесінді табылатынын дәлелде.
- Кез келген n+2 натурал саннан не қосындысы не айырмасы 2n-ге бөлінетін екі сан таңдап алуға болатынын дәлелде.
Нұсқау: Санды 2n-ге бөлгенде шығатын қалдықтарды түрінде қарастырайық. қалдық беретін сандарды k-інші ұяшыққа орналастырамыз. Немесе болса а саны k-інші ұяшыққа салынуы керек.
- Екі таңбалы әр түрлі 10 натурал саннан топтардағы сандардың қосындысы тең болатындай екі топ таңдауға болатынын дәлелде.
Нұсқау: 10 элементті жиынның құр емес ішкі жиындарының саны 1023, қандай да ішкі жиынның элементтерінің қосындысы 990-нан артпайтынын айқындап, пайдалан.
- Қабырғасы 1-ге тең квадратта 64 нүкте берілген. Осы нүктелердің қай бір үшеуін радиусы -ге тең шеңберге сиғызуға болатынын дәлелде.
Нұсқау: Центрі берілген нүктелерде радиусы -ге тең дөңгелектерді алып көрейік. Олардың аудандарының қосындысы және бұл дөңгелектердің бәрі берілген квадраттарды сыртынан қашықтықта қоршайтын қабырғалы квадратқа сияды. Дирикле принципінің үздіксіздік қасиетін пайдаланып ортақ нүктесі болатын кемінде үш шеңбер табылатынына көз жеткіз. Олардың центрлері болатын үш нүктені алып көр.
- Кез келген n бүтін сан үшін не олардың қайсы біреуі не қай бір екеунің айырмасы n-ге бөлінетінін дәлелде.
- 2n-нен артпайтын әр түрлі n+1 натурал саннан біреуі келесі екеуінің айырмасына тең болатын үш сан таңдап алуға болатынын дәлелде.
Нұсқау: Сандарды деп белгілеп, -лермен қатар . . ., айырмаларын алып, қортынды жаса.
- Кез келген n-натурал сандардан қосындысы n-ге бөлінетін бірнеше сан табылатынын дәлелде.
Нұсқау: қосындылары мен олардың екі екіден алғандағы айырмаларын қарастыр.
- Дөңес 9 бұрыш диагоналдарынан арасындағы бұрышы 7 градустан кем болатын екі диагонал табылатынын дәлелде.
- Қабырғасы 1-ге тең дұрыс үшбұрыштың ішінде 5 нүкте берілген болса олардың қай бір екеуінің ара қашықтығы 0,5-тен кем болатынын дәлелде.
Нұсқау: Үшбұрыштың орта сызықтарын жүргіз.
- Жазықтықтағы берілген 25 нүктенің қандай да үшеуін алғанда кемінде екеуінің ара қашықтығын 1-ден кіші болса олардың 13- тен кем емесін 1 радиусты дөңгелекке сыйғызуға болатынын дәлелде.
Нұсқау: Ең алыс орналасқан екі нүктені алып центрі сол нүктелерде жататын радиусы 1-ге тең дөңгелектерді қарастыр.
Ұнады ма? Онда достарыңмен бөліс!
|
