Сызықтық  Диофант теңдеу  шешу

             және a, b қатар нольге тең болмайтын (кемінде біреуі нольден өзгеше) жағдайда     (1) теңдеуінің бүтін шешімін табу есебі сызықтық Диофант теңдеу шешу деп аталады.

         Ең әуелі Сызықтық Диофант теңдеудің (кемінде бір) бүтін шешімі болуының қажетті шартын анықтайық. Немесе (1) теңдеуінің бүтін шешімі болу үшін қандай шарт орындалуы қажет екеніне тоқталайық.

         a, b сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін d деп белгілейік. . Бұдан   болатындықтан  болуы шарт. Олай болса с-саны d-ге бөлінбесе (еселік болмаса) теңдеуінің бүтін шешімі болуы мүмкін емес. 

         Ал  болса немесе  шарты орындалса, онда жағдайда   болатын   (x'; y') пар бүтін сандар табылатынына Евклид алгоритімін пайдаланып көз жеткізу қиын емес. Мәселен d-санын Евклид алгоритімін пайдаланып табу жолы:

Яғни ең соңғы 0 қалдық шығатын бөлгішке тең сан а;b сандарының ЕҮОБ- і болады.

Мұны                 (2)

түрінде жазып, (2)-ден аяғынан екінші теңдіктен бастап қалдықтарды тауып бір-біріне тізбектей ауыстырып қою арқылы:

=

ең соңында    теңдіктерінен а; b арқылы өрнектеліп а; b-нің коэффициенттері бүтін сандар мен -лерге көбейту, қосу амалдарын керектенген өрнек болатындықтан мәні бүтін сандар шығады да оларды    х’;  у’   деп белгілесек:     (3)  болады.  деп алғандықтан (3) теңдіктің екі жағын  k-мен  көбейтсек     теңдеуінің бүтін шешімі болатыны дәлелденді.

Қорытынды: а) Егер c саны -ге бөлінбесе    теңдеуінің бүтін шешімі болмайды.

     б)   Егер c саны  -ге  бөлінетін  болса  (1)  теңдеуінің шексіз көп бүтін шешімі болады.

Енді бүтін шешімді табу жолын қарастырайық.

Ол үшін мысал ретінде     теңдеуін алып көрейік.  Алдымен   ЕҮОБ (355; 78)-ді Евклид алгоритмі бойынша табайық.

       (3)

0 қалдық кезіндегі бөлгіш 1-ге тең немесе  ЕҮОБ(355; 78)=1  болады  да (3) теңдіктерді соңынан бастап бірін біріне ауыстырып қойып есептесек:

=  

=

=    Немесе      болды.  Осылай сызықтық Диофант теңдеудің қандай бір шешімін Евклид алгоритмін пайдаланып табуға болатынына көз жеткіздік.

    Енді негізгі шешімін қалай табуға болатынын қарастырайық. Әуелі жазықтық нүктелеріне   (4) заңдылығы бойынша қосу амалын енгізейік. Бұл амал нәтижесінде «бүтін нүктелердің қосындысы бүтін нүктелер болады». Сондай ақ  ax + by = n  теңдеуінің графигін   ,   ax + by = m  теңдеуінің графигін    деп белгілесек, бұлар өзара параллель түзулер болады да    түзуінің  нүктелеріне  түзуінің нүктелерін  (4) заңдылығы бойынша қоссaқ    түзуінің нүктелері шығады. Бұдан (1) теңдеуінің негізгі шешімін табуға өте маңызды төменгі қортынды шығарып аламыз:   

       ax + by = 0   (5)  теңдеуінің шешімі болатын   түзуінің  барлық нүктелеріне   ax + by = с  теңдеуінің шешімдерінің жиыны  болатын   түзуінің қандай бір нүктесін   (4) заңдылығы бойынша қоссақ   түзуінің барлық нүктесін шығарып аламыз.                                                                                                                   

Сондай ақ түзуінің кез келген нүктесін басы координаталар басында, ұшы  сол  нүктеде  болатын  вектордың  координатасы  деп көруге болатындықтан  осы  заңдылық  бойыша  (5)  теңдеуінің  әр бір бүтін  шешіміне  бүтін  координаталы  векторлар  сәйкес  келетіні  түсінікті. Сондай ақ (1) теңдеуінің қандай бір бүтін  шешімін  деп  белгілесек, аталмыш  заңдылық боынша оған  векторы сәйкес келеді.

     Егер (5)  теңдеуінің  кез келген  бүтін  шешімі арқылы анықталатын  векторды  деп алсақ,  барлық  (*) векторларларының  координата-ларының  жиыны  (1) теңдеудің барлық  шешiмдерін беретініне көз жеткізу қиын  емес.   Сондықтан  алдымен ax+by = 0  (5) теңдеуінің  шешімін табамыз.   ЕҮОБ (а;b)=d деп алсақ   болатын  бүтін сандары табылады. Және де  болады  да  бұдан  болғандықтан  немесе  болады.

    Бұдан      немесе    ax + by = 0    теңдеуінің негізгі шешімі:        формуласымен  анықталады  екен. Олай  болса  жоғрыдағы қортындылар мен  (*) векторлық теңдігінен :

      ax + by = с  теңдеуінің   c- саны  d=(а;b)-ге бөлінетін кезде   формуласы бойынша анықталатын  шексіз көп  шешімі  болатыны   айқын болды. Мұнда     пары  ax + by = с  теңдеудің қандай бір шешімі.            

                     Жаттығу есептері:

1. Теңдеулердің жалпы шешімдерін тап.

a)  53x + 74y = 1,                     b)  310x + 122y = 4,  

c)   2006x + 2007y = 2008,      d)  1003x + 1005y = 2009

     e)  127x – 52y = 1

2.  a)       b)    системасын шеш

3.   Ауладағы  үйрек, мысық,  тасбақалардың барлық саны 13, аяқтарының саны 42.  (тасбақада   6 аяқ бар деп ал) Үйрек, мысық, тасбақаның  әр  қайсысы  нешеу?

4. 1,  10  және  50  теңгелік  100  монетадан  500 тенге  төлеуге  болама?
5.  2-лік және  5-тік тиындар арқылы 48  тиынды төлеудің барлық мүмкін жағдайларын көрсет. Осы құнды 5-тік жіне 10-дық тиындар арқылы дәл қайтара аласыз ба?
6.  2, 5, 8, . . ., 323 және 7, 12, 17, . . ., 512 екі арифметикалық прогрессияның ортақ мүшелері болатын сандарды тап.

7. 45-ке бөлінетін цифрлары арифметикалық прогрессияның тізбектес мүшелері болатын барлық үш таңбалы сандарды тап.
8. 250000-нан кем  тізбектелген  25  құрама сан табылатынын дәлелде.

 Нұсқау: Тізбектес 25 натурал санды  деп белгілеп алайық. Егер  болса  деген заңдылықты ескере отырып,

егер

 болады да  түрінде болмақ.  шарттарын қанағаттандыратындай етіп k-ны таңдаймыз. Енді  құрама сан болатындай етіп  k- ны таңдау керек.

Мәселен n-1 саны 13-ке, n+1 cаны 17-ге бөлінетіндей етіп k-ны таңдасақ жеткілікті. 

n = 13s + 1 = 17m-1 => , => k=?

  9.  Берілген натурал санға әр секунд сайын 554  немесе  777 саны қосылатын болса:

а) Белгілі уақытта соңғы үш цифры бірдей сан шығатынын дәлелде.

б)  2007 санына есептің шартын қолдасақ соңғы үш цифры бірдей сан шығу үшін ең қолайлы және ең қолайсыз жағдайларда қанша секунт уақыт керек.

Нұсқау: болатындықтан санның соңғы үш цифрының өзгеруіне 777 саны екі рет қосылуы 554 саны бір рет қосылуымен бірдей әсер етеді. Немесе  қосындыдағы 554-ті  екі  777-мен алмастыру арқылы уақытты ұзартуға болады. Сондықтан 554 саны қосылса қолайлы жағдайға есептеледі.

а) болатындықтан кез келген бүтін c саны үшін теңдеуінің  шексіз көп шешімі  болатынын, c-ні соңғы үш цифры бірдей қалауынша алынған (берілген саннан үлкен) санмeн берілген санның айырмасы ретінде алсақ  есеп дәлелденеді.

1.4.2. Диофант теңдеулерді шешудің

дербес тәсілдері

1.  Көбейткіштерге жіктеу тәсілі

            1-Есеп:    теңдеуінің бүтін шешім-дерін тап.

Шешімі:        және  х;  у- бүтін сандар болатындықтан  байланысты жүйелерді шешу арқылы (2;3), (-2;9), (-2;-3),  (2;-9),  (34;-33), (-34;69), (-34;33), (34;69)  пар сандары теңдеудің шешімі болатынын анықтаймыз.

2-Есеп:  теңдеуінің бүтін шешімдерін тап.

Шешімі:    =

= =

=

=  болатындықтан берілген теңдеу  түрінде жазылуымен қатар  болатынын ескеріп алдыңғы есептегідей барлық мүмкін жағдайды  қарастыру арқылы  (2;-3), (-2;-3), (4;3), (-4; -3),(-2; 3), (2;-3), (-4;3), (4; -3), шешімдерін табамыз.

3-Есеп:     теңдеуінің бүтін шешімдерін тап.

Шешімі:  Берілген теңдеуді  деп түрлендірейік. Бұдан   сандары -нің бөлгіштері болады. Немесе    бұдан   немесе    болады. Төмендегі жағдайларды қарастырайық.

1. m=0 болсын.  немесе  және 
2. m>0  болсын.   және  -лар бүтін -бүтін және ,       немесе    олай болса теңдеудің (0;0), (1;2)  деген екі бүтін шешімі бар.

4-Есеп:    теңдеуінің натурал шешімдерін тап.

Шешімі:   а)  (тақ)

                    б)     (жұп)  eкі жағдайды қарастырайық:

а)  санын үшке бөлгенде қалдық 2 ге тең. Ал -ді 3 ке бөлгенде 1- қалдық қалатындықтан теңдеудің бүтін шешімі жоқ.

б)    немесе - саны тізбектелген екі тақ санның көбейтіндісіне жіктелу керек. Бұл  болғанда  ғана мүмкін болады. Сондықтан      немесе   x₁ = 1.  Олай  болса  теңдеудің  (2;1)  деген  бір  ғана  бүтін  шешімі  болады. 

5-Есеп:    xy = x + y  теңдеуінің бүтін шешімін тап.

Шешімі: Теңдеуді  түріне келтірейік. және  х, у – бүтін сандар болатынын пайдаланып мүмкін екі жағдайды қарастыру арқылы (0; 0), (2; 2) шешімдерін табамыз.

6-Есеп:  теңдеуінің жай сан шешімін тап.

   Шешімі:     болатындықтан

- тізбегінің мүшелер саны  2n+1. Олай болса 

болады да берілген теңдеу  теңдеуіне ауысады.  түріне жіктелетіндіктен есеп шарты бойынша

a) x=2,   б)  x=3,   в)  x=y және x, y жай сан болатын жағдайларды қарастыруға тура келеді.

a) 

б) 

в)  теңдеуінің шешімі жай сан болмайды.  Олай болса есептің шешімі (2;3), (3;13) пар сандар ғана.

7-Есеп:  теңдеуінің натурал сандар жиынында неше шешімі болады.

 Шешімі:     Теңдеуге элемантар  түрлендіру жасап     немесе  түріне келтірейік. санын неше тәсілмен екі натурал санның көбейтіндісіне жіктеуге болса сонша натурал шешім шығады.  Және      санын екі натурал санның көбейтіндісіне  9  тәсілмен жазу мүмкіндігі бар екеніне көз жеткізу оңай. Олай болса берілген теңдеудің 9 натурал шешімі бар.   

               Жаттығу есептер:

1. Теңдеудің бүтін шешімдерін тап.

a)  

ә)   

б) 

2. Теңдеудің натурал шешімдерін тап.

а)   

б)   

в)   

г)   

1. (2007  Жаутіков олимпиадасы)  шексіз көп натурал шешімдері болатынын дәлелде.

Нұсқау:    Теңдеуді    түріне келтіріп, (1;5), (5;11) д.с пар сандар шешімдер болатынын тексеріп, алдыңғы шешімнен келесі шешімді шығарып алуға болатын рекуренттік заңдылықты тап. болатынын пайдалан.                             Жауабы: 

2.  Бөлшек өрнектін бүтін мәнін

есептеу тәсілі

1-Есеп:   теңдеуінің бүтін шешімдерін тап.                 

Шешімі:    Берілген теңдеуді    түріне келтірсек  у  бүтін сан болу үшін    бөлшегі бүтін мәнді қабылдау керек. Мұның  төмендегі    төрт мүмкіндігі бар.

а)  2х – 1 = 1,    б)  2x – 1 = 3,    в)  2x – 1 = - 1,   г)  2x – 1 = -3. Сондықтан теңдеудің бүтін шешімдері  (1; 9),  (2; 8),  (0; 2),     (-1; 3)   пар сандары болады.

    2-Есеп:      теңдеулер жүйесінің бүтін шешімдерін тап.

Шешімі:  2- теңдеуден x=y+z–3 -ті 1-теңдеуге қойсақ    болады да    Ары қарайғы есептеу алдыңғы есеппен бірдей.

     3-Есеп:       теңдеуінің натурал шешімдерін тап.                                                                                                  

      Шешімі:    Берілген теңдеуді  түріне келтіруге болады.

болатындықтан x=3, zt+1=3,  теңдіктері орындалу шарт. Бұлардан   

   болатынын ескерсек    сондықтан берілген теңдеудің натурал шешімі: (3; 5; 1; 2).

  4-Есеп:    теңдеуінің бүтін сандар жиынында неше шешімі бар

Шешімі:  ауыстыруын орындау арқылы берілген теңдеуді немесе    түріне  келтірейік. 

Бұдан            t -  бүтін  сан  болғандықтан  бүтін  сан  болу  керек.  Сондай- ақ  болатындықтан        болады да бұдан:

   және    санының  осы  қасиеттерге  үйлесетін  бөлгіштерін  тапсақ:   1; 4; 7; 13; 28; 49; 52  болады да  s  саны  сәйкес  -4; -3;  -2;  0; 5; 12; 13;  мәндерін  қабылдайды.  Бұған  сәйкес  t-нің  мәндері  t = -77,  -10, -3, -1 ; 4; 35; 42.

 x, y – тер Вьет теоремасы бойынша     теңдеуінің түбірлері болады. Бұл теңдеуді  s,  t – нің табылған мәндерінде шешсек   (7; 5),  (7; 6),  (7; 12),  (1; 3),  (1; -1),   (1; 4),  (-5; 2)  деген 7 шешім шығады  x, y симме-триялы екенін ескерсек есептің бүтін сандар жиынында  шешімі болады.     

Жаттығу есептер:

■■■

1. Теңдеуінің бүтін шешімдерін тап.

а)      б)         

в)                  г) 

Нұсқау:  «Тізбектелген екі жұп санның біреуі 2-ге, келесісі 4-ке бөлінеді де тізбектелген екі тақ сан өзара жай болатынын» және «бүтін санның k дәрежесі өзара жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазылса осы көбейткіштердің әр қайсысы ,бүтін санның k дәрежесі түрінде болады» – деген заңдылықтарды пайдалан.

г)         д)  3y + 11z = 60

2.  5(xyz+x+z) = 222(yz +1)  теңдеуінің натурал шешімдерін тап.

3. cистеманың бүтін шешімдерін тап.