Жай және құрама сандар

Теорема 1. Кез келген құрама санды жай сандардың көбейтіндісіне бір мәнді жіктеуге болады.

Дәлелдеме:   m  құрама саны анықтама бойынша       1 < m₁; m₂ < m,   түрінде жазылады.                      m₁ ; m₂-лерде құрама сан бар болса ол тағы өзі және бірден өзге екі санның көбейтіндісі түрінде жазылатын болады. Осы амалды қайталау арқылы барлық көбейткіштерді жай сан түріне келтіре аламыз.

m-саны шектеулі бүтін сан болғандықтан көбейткіштерге жіктеу амалы шектеусіз жалғасу мүмкін емес екені түсінікті. Жай көбейткішке жіктеу нәтижесінде m саны жай сандардың дәрежелерінің көбейтіндісі түрінде жазылатын болады.

Мысал-1: 420 және 884 сандарын жай көбейткіштерге жікте. Бұл сандардың әр түрлі неше бөлгіші болатынын есепте.

420 = , 884= түрінде жіктелумен қатар 420-ның бөлгіштерінің саны , сол сияқты 884-тің бөлгіштерінің саны  болатынын жай көбейткіштердің бөлгіштер құрамына кіретін дәреже-лерін есептеу арқылы табу керек. Бұдан санның жай жіктелуін пайдаланып қанша бөлгіші болатынын табу үшін жай жіктелудегі көбейткіштердің дәреже көрсеткіштерін бірмен арттырып өзара көбейту қажет. Себебі  р- жай саны үшін  -ның , , … деген α+1 болатыны белгілі.

Немесе: n саны түрінде жай көбейт-кішке жіктелген болса n-нің барлық бөлгіштерінің саны төменгі формула бойынша есептеледі:

Теорема-2  Егер m саны құрама сан болса оның жай көбейткіштерінің ішінен  болатын р-жай саны табылады.

Дәлелдеме: Кері жору тәсілін қолданайық. Немесе m-құрама санның барлық жай көбейткіштері үшін  болады деп көрейік m – құрама сан болғандықтан оның кемінде 2 жай көбейткіші болады. Оларды p₁ , p₂ десек кері жору бойынша ,  яғни  немесе  . Бұлай болуы мүмкін емес (  болу шарт).

Мысал-2: 667; 113 сандары құрама әлде жай сан екенін анықта.

 (23-тен кейінгі жай сан 29) болатындықтан 667 саны құрама сан болса 23-тен артпайтын жай көбейткіші болу керек. 667-ні 23-ке дейінгі жай сандарға бөлу арқылы бұған көз жеткіземіз.  құрама сан  және 113 саны 7-ге дейінгі жай сандар 2; 3; 5; 7-лердің қайсысына да бөлінбейді сондықтан 113 жай сан .

Жаттығу есептері:

1.  2240, 1782 сандарын жай көбейткішке жіктеп, барлық бөлгіштерінің санын тап.
2. 100-ге дейінгі сандардың ішінен айырмасы жай сан болатын пар жай сандарды тап. (Мысалы: 5 – 2 = 3) Тұжырым жаса.
3. m > n және m жұп, n тақ болса төменгі өрнектердің тақ жұптығын анықта. 5m+n, (m–n)(m+n), , , .
4. Слава алғашқы n натурал санды, ал Валера алғашқы m жұп санды көбейткенде нәтиже бірдей шықты. Бұл екеуінің біреуі қателескенін дәлелде. ( ).
5. 1-ден 20-ға дейінгі сандардың көбейтіндісін жай көбейткішке жіктегенде 2 саны неше рет қайталанады? Бұл көбейтінді неше нөлмен аяқталады?
6.  p, q-лер әр түрлі жай сандар болса төменгі сандардың бөлгіші нешеу?

а) p²q     б) p²q³        в) 84p² q²          г) p^mq^n-r

7. 1093 саны құрама сан ба?

8.a) p, p+4 , p+14 б) p, p+10 , p+14 сандары жай сандар болса р санын тап.

9.   , , ,  сандарының қайсысы жай, қайсысы құрама сан болады?  саны үшін жалпы қортынды жаса. Мұндағы      саны i-ші жай сан.

10.  Жай сандар шексіз көп болатынын дәлелде.

Нұсқау: 9-есептің нәтижесін пайдалан. 2-ден басталған тізбектелген жай сандардың көбейтіндісіне 1-ді қосқанда  шығатын сандар тізбегін қарастыр. Тізбектің әр мүшесі не жай сан не оның құрамына енген жай сандардан үлкен жай санға бөлінуге тура келетініне көз жеткіз.

11.  2-ден 100-ге дейінгі барлық жұп сандарды екі жай санның қосындысы түрінде жазуға бола ма? Екі жай саннның айырмасын ше?

12.  56a =65b болса  a + b  құрама сан болатынын көрсет    (65(a + b) өрнегін бағала)

Нұсқау:               

13.   n+1, n+2, ..., n+1000 сандарының барлығы құрама сан болатындай n-санын тап.

       Нұсқау:  n+1  cаны 2-ге,  n+2 саны 3-ке,         n+3 саны 4-ке д.с бөлінетіндей таңда.  деп алсақ,  онда      д.с  болатынын пайдалан.

Мұндай есептерді шешу үшін есеп шартын орындайтын қандай бір мысал табу жеткілікті.

14.   саны m-ге бөлінетін болса m жай сан болатынын көрсет.

Нұсқау: m құрама сан болса  cаны m-ге бөлінуге тиісті екенін дәлелдеп, есепті шешуге пайдалан.  және m–құрама сан дейік.     . Бұдан  сандары -дің құрамында бар көбейткіштер    кезде бұлар әр түрлі сандар   немесе   және   бұл мүмкін емес.

15.  Қосындысы мен айырмасы жай сан болатын екі жай санды тап.

16. Тізбектелген n-тақ санның қосындысы құрама сан болатынын көрсет.

Нұсқау:  1-ден бастап (2n-1)-ге дейінгі n сан үшін дәлелдесек жеткілікті

n=2      1+3 = 4= 2²

n=3      1+3+5= 9= 3²

n=4      1+3+5+7 = 16 = 4²

1+3+5 +7+9 = 25 = 5²

.

17.  Жазылуында барлық 10 цифр бір бір рет кірісетін 36-ға бөлінетін ең кіші және ең үлкен санды тап.

Нұсқау: Бұл санды А деп белгілесек:    A санының цифрларының қосындысы 45-ке тең болғандықтан бұл сан 9-ға бөлінеді. Ал 4-ке бөліну үшін соңғы 2 цирдан тұратын сан 4-ке бөліну қажет. 

18.   ,      теңдеулерінің бүтін шешімдері бола ма?

Нұсқау:  болатынын ескеріп қорытынды жаса.

19. а)   7 бөлгіші болатын жұп санды тап.

б)   10 бөлгіші болатын 12-ге бөлінетін санды тап.

      Нұсқау:   26-бет мысал-1-дің қорытындысын пайдалан.

 1.3.2.   Бөлінгіштік белгілері мен қасиеттер

a)   Бөлінгіштік белгілері

     Төмендегі бөлінгіштік белгілерін дәлелде:

1. Жұп сан 2-ге бөлінеді.
2. Санның цифрларының қосындысы 3-ке (9-ға) бөлінсе бұл сан 3-ке (9-ға) бөлінеді. (Санның цифрларының қосындысын 3-ке (9-ға) бөлгенде қалған қалдық сол санды    3-ке (9-ға) бөлгендегі қалдыққа тең.)
3. Санның соңғы екі (үш) цифрынан құралған сан 4-ке (8-ге) бөлінсе бұл сан 4-ке (8 -ге) бөлінеді.
4. 0 және 5-пен аяқталған сан 5-ке бөлінеді.
5. Натурал санның соңынан бастап үш үш цифрдан бөліктерге бөліп (ең сол жаққы бөлік 3-тен аз цифрмен жазылған болуға болады) тақ реттегі бөліктерді қосу таңбасымен жұп реттегі бөліктерді алу таңбамен алғанда шығатын қосынды 7-ге (13-ке, 11-ге) бөлінсе бұл сан 7-ге    (13 ке, 11-ге) бөлінеді.
6. Натурал санды соңынан екі екі цифрдан тұратын бөліктерге бөліп, (ең сол жақ бөлік бір цифрдан тұруға болады) шыққан сандарды қосқанда 11-ге бөлінсе бұл сан  11-ге бөлінеді.
7.  Жұп орындағы цифрлардың қосындысы мен тақ орындағы цифрлардың қосындысының айырмасы 11-ге бөлінсе сан 11-ге бөлінеді. 

Мысалы 1.  237849568 саны   а) 11-ге бөліне ме?

б) 2-ден 13-ке дейінгі сандардың қайсысына бөлінеді егер бөлінбесе оған ең жақын бөлінетін санды тап.

в) 2-ден 13-ке дейінгі сандардың бәріне де бөлінетін берілген санға ең жақын санды тап.

Нұсқау:    а) 68+95+84+37+2=286 белгіні қайта керектенсек

86+2=88,

Мысалы 2.   459348965866 саны 7-ге, 13-ке бөліне ме?

459-348+965-866=210 алғашқы сан 7-ге бөлінеді де13-ке бөлінбейді.

b)   Бөлгіштік қасиеттері

     Төмендегі бөлінгіштік қасиеттерін дәлелде:

1. a cаны b-ге бөлінсе
2. a cаны b-ге, b саны а-ғе бөлінсе a = b

3.a cаны b-ге, b саны с-ге бөлінсе, а саны с-ге бөлінеді.

4.a; b сандары с-ге бөлінсе, кез келген натурал m,n үшін ma+nb саны с-ге бөлінеді. Және де ma > mb болса ma – nb cаны с-ге бөлінеді.

5.а саны b-ге бөлінсе кез келген натурал k үшін ak саны b-ге бөлінеді.

6.ak cаны bk-ға бөлініп, болса а саны b-ге бөлінеді.

7.  шарттары орындалса  .

8. болса  саны a – b -ге, n тақ сан болса cаны а + b-ге бөлінеді.       

Жаттығу есептер:

1.  10-ға, 15-ке бөлінгіштік белгісін тап.

2.  2, 3, 5-ке қатар бөлінетін 5 сан жаз.

3.  9-ға бөлінетіндей етіп *-ның орнындағы цифрды тап.

3474*7,   123*75,    475*286

4.  3 пен 2-ге қатар бөлінетіндей етіп * - ның орнына цифр жаз.

3684* 572*, 746**         

5. 2, 5, 25, 4, 8, 7, 9, 11, 13-ке (жеке жеке) бөліну үшін 23857* cанның соңғы цифры нешеу болады?

6. теңдігін пайдаланып cаны 73 және 137-ге бөлінетінін көрсет.

Нұсқау:  теңдігі орындалатынын көрсет.

7. санның барлық бөлгіштерін тап. Оларды өсу ретімен орналастыр. Барлық көбейткіштердің көбейтіндісіне 2-нің, 3-тің, 5-тің неше дәрежесі кіріседі?

8. а-саны 6-ға бөлінсе a(a-12) cаны 36-ға бөлінетін көрсет.
9.  саны 9-ға бөлінсе cаны 99-ға бөлінетінін дәлелде.

10. саны құрама сан болатынын көрсет.

11.Төменгі шарттарды қанағаттандыратындай (x; y) пар санының үш мәнін тап. 12x + 45y cаны

a) 2-ге бөлінеді.

б) 5-ке бөлінеді.

в) 2 және 5-ке бөлінеді.

г) 2-ге де 5-ке де бөлінбейді.

12. 100 дана 0, 100 дана 1, 100 дана 2 цифрларын пайдаланып бүтін квадрат болатын сан жазуға бола ма?

Нұсқау: Мұндай сан 3-ке бөлінгенімен 9-ға бөлінбейтінін және санның квадраты 3-ке бөлінсе 9-ға бөлінуі шарт екенін ескер.

13.Бүтін санның 6-ға, 18-ге, 33-ке, 12-ге, 50-ге, 37-ге, 111-ге бөліну белгісін анықта.

Нұсқау: 33-ке бөліну үшін 3-ке және 11-ге қатар бөлінуі қажет. 37-ге, 111-ге бөліну белгісі үшін 1000-1=999=9∙3∙37 теңдігін пайдалан.

14. Кез келген санның квадраты не 9-ға бөлінеді, не 3-ке бөлгенде 1 қалдық қалатынын дәлелде.

15. 1-ден 300-ге дейінгі сандарды тізіп жазғанда шыққан сан 3-ке бөлінетінін дәлелде. Бұл сан 9-ға бөліне ме? Басқа қандай сандарға бөлінетінін анықта.

16.  a+b саны 7-ге бөлінсе cаны 7-ге бөлінетінін көрсет.
17.  1-ден 100-ге дейінгі сандардың ішінде 3-ке бөлін-генімен жазылуында 3 цифры болмайтын сан нешеу?
18.  1-ден 9-ға дейінгі сандарының бәріне де бөлінетін а) 2007-мен басталатын ең кіші б) 2008-бен басталатын ең кіші, в) 2009-бен басталатын ең кіші санды тап.

Нұсқау: а) Бұл сан -ға бөлінумен қатар 2008-бен басталатын онымен бірдей таңбалы саннан кіші болатынына көз жеткізіп, 200800.... түріндегі санды 2520-ға бөліп, әр қадам сайын бөлінгіш пен қалдықтың айырмасын есептеп қортынды жасау тәсілін қолдан.

19.  4-ті азайтқанда 3-ке, 3-ті азайтқанда 2-ге, 4-ті қосқанда 5-ке, 5-ті азайтқанда 4-ке, 5-ті қосқанда 6-ға, 6-ны азайтқанда 5-ке, 7-ні қосқанда 8-ге, 8-ді азайтқанда 7-ге бөлінетін ең кіші санды тап.
20.   Кез келген бүтін А саны үшін , екі санның кемінде біреуі 10-ға бөлінетінін дәлелде.

Нұсқау: Бұл сандардың екеуі де жұп және кемінде біреуі 5-ке бөлінетініне көз жеткізу керек.

21.  Алғашқы екі цифрынан тұратын сан 2-ге, алғашқы үш цифрдан тұратын сан 3-ке, алғашқы төрт цифрдан тұратын сан 4-ке, д.с ... бұл сан өзі 10-ға бөлінетіндей он әртүрлі цифрдан тұратын 10 таңбалы санды тап.
22.  Тізбектелген 4 санның көбейтіндісі 3024. Осы сандарды тап.
23.   саны 57-ге, cаны 73-ке бөлінетінін дәлелде.

      Нұсқау: Өрнектерді түрлендіру арқылы көбейткіштерге жіктеу, нәтижесінде сәйкесінше 57 және 73 көбейткіштерін шығарып алу керек. Сондай ақ қосындымен айырмалардың бөлінгішдік қасиеттерін пайдаланау қажет.

24.   n(n+1) саны 2-ге, n(n+1)(n+2) саны 3-ке бөлінетінін дәлелдеп, жалпы жағдайда тұжырымдама жаса.

Нұсқау: Тізбектелген сандардың бөлінгіштік қасиеттерін пайдалан.

25.    бөлшегі қысқармайтынын дәлелде.
26.   А санын 1981 және 1982 -ге бөлгенде 35 қалдық қалатын болса 14 -ке бөлгенде неше қалады?

27.   саны 6-ға,  саны 6-ға,

 саны 5-ке,  саны 30-ға,  саны 7-ге бөлінетінін дәлелде.

28. 1000!=   cаны неше нольмен аяқталады?

Нұсқау: 1000! cанның құрамындағы 5- көбейткіші мен есеп шартының ара байланысын анықта. 29-есептің мазмұнын пайдалан. Ол үшін p=5 деп ал.

29.    n!-ді бөлетін p-нің ең үлкен дәрежесі   (*) болатынын дәлелде. Мұнда k- саны  теңсіздігін қанағаттандыратын натурал сан да  x-санының бүтін бөлігі(х-тен артық емес ең үлкен бүтін сан).

Нұсқау: n= 12; 100,  p = 5; 8 жағдайларда есепті шешіп, жалпы жағдайда қорытынды жаса.  p = 5 кезде  (*)  өрнектің мәні  n!=   көбейтіндісі неше нөлмен аяқталатынын айқындайтынына көз жеткіз.

30.  5-пен көбейткенде цифрларының қосындысы өзгермейтін сан 9-ға бөлінетінін дәлелде.

      Нұсқау: 5A – A = 4A теңдігін және цифрларының қосындысы тең сандардың айырмасы 9-ға бөлінетініне көз жеткізіп пайдалан.

31.  Кез келген тізбектелген 18 үш таңбалы санның кемінде бірі өз цифрларының қосындысына бөлінетінін дәлелде.

      Нұсқау: және кез келген тізбектелген k санның біреуі k-ға бөлінетінін пайдалан. 9-ға бөлінетін үш таңбалы санның цифрларының қосындысының мүмкін мәндерін ескер.

32. а) Әр түрлі 7 цифрдан тұратын, барлық цифрларына бөлінетін 7 таңбалы санды тап.

б) Әр түрлі 8 цифрдан тұратын, барлық цифрларына бөлінетін 8 таңбалы сан табылмайтынын дәлелде.

Нұсқау: а) Алдымен есептің шартын қандай цифрлар қанағаттандыратынын анықта, мәселен 0 және 5 цифрлары кіре ме? Санның 9-ға бөлінгіштік белгісін ескер. б) 0 және    5-тен басқа 8 цифрдан жазылған 8 таңбалы сан 9-ға бөліне ме?

33.  2; 3; ... ; 9 цифрларын бір бір рет қана пайдаланып екі сан жазылған. (Мысалы: 672 және 58943) жазылған екі санның біреуі екіншісінен 2 есе үлкен болуы мүмкін бе?

Нұсқау: Бір бірінен 2 есе үлкен екі санның қосындысы         (x + 2x = 3x саны) қандай санға бөліну керек екенін анықта. Санның 3-ке бөлінгіштік белгісін пайдалан.

34.   1-мен өзінен басқа бөлгіштерінің ең үлкені ең кішісінен 25 есе үлкен болатын барлығы неше натурал сан болады?

Нұсқау: Сан ең кіші және ең үлкен көбейткіштерінің көбейтіндісіне тең болатынын және есеп шартын ескеріп теңдеу құр. Жауабы 3 сан.

35.   S(x)-пен х санының цифрларының қосындысын белгілейік. Төменгі теңдеулерді шеш.

а)

б)

в) б)-нің 2007-нің орнына 2005-ті қой.

Нұсқау: Сан және оның цифрларының қосындысын 3-ке (9-ға) бөлгенде бірдей қалдық қалатынын пайдалан.

в) болғандықтан теңдіктің сол жағындағы әр қосылғышты 9-ға бөлгенде бірдей 4 қалдық қалу керек болатынын анықта.

36.  Цифрларының қосындысынан 83 есе үлкен болатын 4 таңбалы санды тап.

Нұсқау: Бұл төрт таңбалы санды х десек x – S(x) саны     9-ға және 82-ге бөлінетінін көрсет.

37.  Санға цифрларының қосындысын қосу, шыққан санға өз цифрының қосындысын қосу амалын 7 рет қайталағанда 1004 шыққан болса алғаш қандай саннан басталған.

Нұсқау: Ең соңғы қосындыдан бастап ілгері жүру керек. Соңғы сан мен оның цифрларының қосындысының қосындысын 9-ға бөлгенде 5 қалдық қалу керек. немесе цифрларының қосындысы 23 не 14 болуы шарт екеніне көз жеткізу.

38.   Тақтадағы 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 сандарын бір жолға жазған. Келесі жолдарды көрші екі санның астына олардың көбейтіндісі келетіндей ең соңғы жолда бір ғана сан шыққанға дейін жалғастырады. Осы сан неше нольмен аяқталады?

Нұсқау: 2-жолдан бастап сандардың орнына сол санның аяқталатын нөлдерінің санын жазып кесте құр. Жауабы: 43 ноль.

39.  Алғашқы екі цифрын және соңғы екі цифрын өшіргенде шығатын екі таңбалы сандардан 81 есе үлкен болатын 4 таңбалы санды тап.

Нұсқау: Бұл сан түрінде болатынына көз жеткіз.

1.3.3.  ЕКОЕ, ЕҮОБ, Евклид алгоритмі

Анықтама 1: Бірнеше сандардың бәрін бөлетін санды осы сандардың ортақ бөлгіші, ортақ бөлгіштердің ең үлкенін ең үлкен ортақ бөлгіш (ЕҮОБ) деп атайды.

ЕҮОБ-ті табу алгоритмі:

1. Берілген сандарды жай көбейткішке жіктейміз.
2. Барлық сандарға ортақ көбейткіштерді тауып көбейтіндісін аламыз.

Анықтама 2: ЕҮОБ-і 1-ге тең пар сандарды өзара жай сандар дейді. m; n сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін ЕҮОБ(m;n) не (m;n) деп белгілейді.

Мысал:   ЕҮОБ(60;25)-ті табайық.

Жалпы жағдайда: ,   cандары үшін

Анықтама 3: Бір неше сандарға бәріне де бөлінетін ең кіші санды сол сандардың ең кіші ортақ еселігі (ЕКОЕ) дейді.

ЕКОЕ ті табу алгоритмі:

1. Берілген сандарды жай көбейткішке жіктейді.
2. Алғашқы санның барлық көбейткіші мен келесі сандардың алғашқы санға кірмеген көбейткіштердің көбейтіндісін аламыз.

Мысалы: ЕКОЕ (12;30) – ды табайық

, болғандықтан ЕКОЕ (12;30) =2·2·3·5 = 60 болады.

Жалпы жағдайда:    болса    ,    болады.

       ЕҮОБ-ті табудың Евклид алгоритмі:

Бұл алгоритм төменгі теоремаға негізделеді.

Теорема-1: а-және в-сандарының кез келген ортақ бөлгіші а – в санының бөлгіші болады.

Дәлелдеме: а; с, в;с болса а=mc , в=nc болады да а-в=mc-nc=(m-n)c

Теорема-2: а-санын в-ге бөлгенде бөлінді-q, қалдық r-ға тең немесе , болса ЕҮОБ (а; в)=ЕҮОБ (в; r) (1) болады

Дәлелдеме: (а; в)=d, (b;r)=h деп алып d=h дәлелдесек жеткілікті. , немесе болады. Бұдан . Сондай ақ , және r=a-bq болатындықтан . Немесе . Бұдан болатыны дәлелденеді. Теорема-2 ні пайдаланып a, b сандарының ЕҮОБ-ін қалай табуға болатынын қарастырайық. Қалдықпен бөлуді тізбектей орындау арқылы шектеулі қадамнан соң 0 қалдық алатынымыз түсінікті. Себебі әр қалдық өзінің алдындағы қалдықтан кем және ден кем емес болатындықтан шектеусіз жалғасуы мүмкін емес. Немесе қалдық нольге тең болады, жәнеде теорема-2 бойынша ЕҮОБ- табуға арналған бұл тәсілді Евклид алгоритмі деп атайды.

Мысалы: 1381955 және 690713 сандарының ЕVОБ-ін тап.

(1381955; 690713) = (690713; 529) = (529; 368) = (368; 161) = (161; 46) = =(46; 23)=23

Біз жоғарыда төменгі теораманы дәлелдедік.

Теорема-3: Екі оң бүтін санға Евклид алгоритмін керектенгенде алғашқы нольге тең қалдықтың алдындағы қалдық бұл сандардың ЕVОБ-і болады.

Теорeма-4: Кез келген а; в- бүтін сандары үшін ax+ву=(а;в) болатындай х;у бүтін сандары табылады.

Дәлелдеме: Евклид алгоритмінің теңдіктердің соңынан екіншісінен мұндағы -дің орнына соңынан 3-ші теңдіктен -ді қойу амалын жалғастырып орындау арқылы ең соңында r -ді ауыстырып қойу нәтижесінде теңдігіне жетеміз. Мұндағы х;у тер -лер тең бүтін сандарға қосу алу көбейту амалдарын керектену арқылы шығатындықтан бүтін сан болатыны түсінікті.

       Жаттығу есептер:

1. Төменгі пар сандардың ЕҮОБ, ЕКОЕ-ін тап.

а)   және  ,

б)   және  .

2. а) Қандай жағдайда ЕҮОБ(a, b) = a, қандай жағдайда ЕКОЕ(a, b) = a болады? Бірін бірі бөлетін сандардың ЕҮОБ- і ше?

б) 4, 15, 22, 77, 322 сандарынан өзара жай пар сандарды таңда. Өзара жай сандардың ЕКОЕ-і неге тең.

3. Евклид алгоритмін керекткеніп ЕҮОБ-ін тап.

1. 2301 және 223200,  б) 5959 және 6077, b) 5959 және 134333,  г) 2n + 13 және n + 7,  д) 12n + 1 және 30n + 2.

Екі санның қосындысы 221, ЕКОЕ- і 612 болса оларды тап.

4. Екі тақ санның айырмасы 8- ге тең болса ЕҮОБ-ін тап.
5. Екі тақ санның қосындысы 16-ға тең болса бұл сандар өзара жай сандар болатынын дәлелде.
6. 1, 2, 3, 4, 5, 6 цифрлары бір бір рет кірісіп жазылатын барлық 6 таңбалы сан нешеу? Осы сандардың ЕҮОБ-ін тап.
7. болса ЕҮОБ(n, n+1, n+2), ЕКОЕ(n, n+1, n+2) нің мүмкін мәндерін тап.

8. Тек 1 цифры арқылы жазылатын 100 және 60 таңбалы екі санның ЕҮОБ-ін тап. Бұл сандардың ЕКОЕ-і қандай сан болатынын анықта.

9. 324 см х141 см өлшемді тік төртбұрыштан қалған тік төртбұрыштың бір қабырғасы 141-ден кіші болғанынша қабырғасы 141 см квадраттар қиып алайық. Қалған тік төртбұрыштан оның кіші қабырғасына тең қабырғалы квадраттарды осылай қиып алу амалын жалғастырсақ ең соңында қиып алынатын қабырғасы бүтін сан болатын квадраттың қабырғасы неге тең болады?
10.   Төменгі пар сандарының ЕҮОБ-ін тап: а)  және  ,        б)  2 -1  және    в)  және .
11.  2, 3, 4, 5, 6, сандарына бөлгенде әр қайсысында 1 қалдық қалады да 7 санына қалдықсыз бөлінетін барлық сандарды тап.

Нұсқау: Есептің шартын қанағаттандыратын сандар      теңдеуін қанағаттандыратынына көз жеткізіп, теңдеудің бүтін шешімдерін тап.

12.   Екі оқушының біреуі көк қарындашпен оның басынан бастап 36см қашықтықта нүктелерді тізбектей белгілейді. Келесі оқушы лентаның басынан бастап ара қашықтықты 25см болатын нүктелерді қызыл қарындашпен белгілеген болса ара қашықтығы 1см ге тең қызыл және көк екі нүкте табыла ма? Қызыл және көк нүктелер қабаттасатын ара қашықтықты тап.
13.   ,   (x, y) = 1 болса  ,     болатындай b, c бүтін сандар табылатынын дәлелде.

14.   = x(x + 1);    = x(x + 1) теңдеулерінің барлық бүтін шешімдерін тап.Нұсқау.   x, x + 1-дің біреуі  2- ге бөлінетіндіктен     4-ке,    8-ге бөлінетінін және 16-шы есептің нәтижесін пайдалан. Сондай-ақ теңдеуді x үшін квадрат теңдеу түріне келтіріп, түбірін зерттеп көруге де болатынын ескер.
15.     бөлшегі қысқармайтынын дәлелде.

 Нұсқау: Евклид алгоритмін пайдаланып (14m+17, 21m+25)-ті тап.

16. (a, a+1)=1, (a, a²+1)=1, (a, aⁿ +1)=1 болатынын дәлелде.
17.   ;    ;    бөлшектері қысқара ма?

18.(а; в) =1 болса (11а +2в,18а+5в) саны 1-мен 19-дың қай біріне тең болатынын дәлелде.

19.  n-нің  қандай   мәнінде    ;   ;  бөлшектері қысқарады?

20.    болатынын дәлелде.
21.  болатынын дәлелде.
22.  25x - 36y = 1 теңдеуінің бүтін шешімін тап.
23.  13x + 16y = 300 теңдеуінің натурал шешімін тап.
24.   болса EVОБ - ның алуға болатын ең үлкен мәнін тап. (Жауабы: 91)

25. және сандарының EVOБ–ін тап.

Нұсқау:      болатынына көз жеткіз. (305; 240) =5 болатынын ескер.

26.   Егер жай сан болса саны 240-қа бөлінетінін дәлелде.

Нұсқау: және 3; 5; 16 сандары пар парымен өзара жай болатындықтан  саны 16-ға, 3-ке, 5-ке бөлінетінін дәлелде.

27.    теңдеуінің шешімі болатын натурал пар сандарды тап.

Нұсқау: (x; у)= d десек ,    және болатынын пайдаланып теңдеуді түрлендірсек теңдеу немесе түріне келеді де болуы шарт және бүтін шешімі болу үшін болу керектігін айқындап d-нің барлық мүмкін мәндерін қарастыра отырып теңдеудің шешімін табу керек.